Matematikk mot nye høgder

Matematikk og klatring kan sjåast på som to svært så ulike disiplinar. Der klatring er ein fysisk krevjande aktivitet, stiller matematikken større krav til kognitiv kapasitet. Så finst det då nokon største felles faktor mellom desse to? For dei som driv med begge delar, vil det openberre svaret på spørsmålet vere «ja», og at matematikk og klatring djupast sett handlar om akkurat det same: å løyse problem.

Klatresporten kan grovt sett delast inn i to greiner: klatring i store høgder med tau, og klatring på lågare høgder utan tau (buldring). Sistnemnde var opphaveleg ein aktivitet som fjellklatrarar i England (fortrinnsvis menn) dreiv med på store kampesteinar i låglandet, kjent som boulders, for å førebu seg på dei verkelege utfordringane i høgfjellet (Beal, 2011). Eit bulder (ei klatrerute) vert, av dei som er kjende med lingvistikken i klatresporten, ofte kalla eit problem. Og her kan ein byrje å ane likskapar med matematikken.

Eit skikkeleg godt buldreproblem er ei rute ein treng gjentekne forsøk på for å klare, og fleire klatrarar har gjerne buldreprosjekt dei bruker månadar og år på å greie å få til, ikkje ulikt dei verkeleg store matematiske problema som vert arbeida med. Desse problema er for klatraren såpass fysisk krevjande at klatraren treng lang tid til å forstå ruta, eller tid til å trene opp kroppen til å takle dei fysiske påkjenningane. For sjølv om ei rute kan vere sett saman av sekvensar som isolert sett er overkomelege, vil heilskapen vere såpass utmattande at musklane i kroppen treng lang tid til tilpasse seg den fysiske påkjenninga, og ikkje minst lang tid på å restituere etter kvart forsøk. 

Likevel gir ikkje dei dedikerte klatrarane opp, men held ut og prøver på ny og på ny. Eit godt problem tar altså tid å få gått, men meistringskjensla når ein fyrst toppar ut ruta, er ubeskriveleg. Problemløysing i klatring er såleis ein tidkrevjande og karakterdannande aktivitet, ikkje ulikt arbeid med matematikk.

Strategiar for å løyse problem

Så til det reint metodiske når det kjem til problemløysing, nemleg strategiar for å løyse problem. For det er akkurat her at matematikarar og klatrarar faktisk arbeider likt. Me har dei same strategiane for å løyse problem! Klatrarar nyttar, truleg ubevisst, dei fire stega innanfor matematisk problemløysing som vart skildra av Pólya (2014): forstå problemet, utvikle ein plan, gjennomføre planen, og sjå seg attende.

I tillegg vert ei rekkje av dei mest vanlege problemløysingsstrategiane innanfor matematikk nytta, som til dømes å sjå etter eit mønster, lage ei teikning/visualisering, gjett og sjekk, løyse ein del av problemet, arbeide baklengs, tenke på eit liknande problem, forenkle problemet og endre angrepsmåte (jf. Kongelf, 2011). Men, der klatrarane nyttar desse strategiane ubevisst som ein naturleg måte å angripe problema på, er det nok meir krevjande å få elevane til å nytte desse strategiane på ein like naturleg og bevisst måte. Korleis desse kjem til uttrykk i klatring, skal du få eit innblikk i no:

Det fyrste klatraren gjer når hen står overfor eit problem (her klatrerute), er å forsøke å forstå problemet. Kor startar eg, kvar går ruta, kva står fram som cruxet (ruta sitt vanskelegaste parti), og ikkje minst kva har eg å halde tak i? 

Når ruta er synfart og (antatt) forstått, gir klatraren seg i kapp med ruta. Fyrste forsøk vert ofte etter strategien gjett og sjekk. Du anar jo aldri heilt kva som møter deg der i det ukjente, så ein må berre gi det eit forsøk. 

I mange av forsøka møter ein (bokstaveleg talt) veggen, kva gjer ein så? Jo, ein tyr til andre strategiar. Til dømes med å løyse ein liten del av problemet. Klatraren går dei fyrste flytta på ruta og får kontroll på dette, så forsøker han gjerne ein annan del av ruta, testar ut grepa og flytta og øver inn desse. Kanskje er det delar av ruta som kjennest like ut som noko ein har klatra før? Ofte lønner det seg å tenkje på eit liknande problem, og hugse attende på noko ein har gjort tidlegare. Dette kan gi klatraren både ein positiv sjølvtillitsboost og ein ny giv.

Når ein har forsøkt mange gonger, og kanskje greidd å klatre kvar enkelt sekvens, er det tid for å kople sekvensane saman til ein heilskap. Ein kan ofte sjå klatrarar stå i botn av ruta og «klatre på staden» med hendene rett framføre seg, altså ei mental visualisering av ruta, før eit viktig støt (forsøk). Klatraren går gjennom ruta flytt for flytt, sekvens for sekvens, frå botn til topp. Kanskje vil ein kunne finne eit slags mønster i ruta, ein slags rytme som gjer at ruta fester seg i kroppen. Andre gonger har klatraren teikna opp ruta på papir for å få oversikt eller for å kunne memorere kva ein skal gjere på dei ulike sekvensane.

Når ingenting av dette fungerer, er det på tide å endre angrepsmåte. Ein måte å løyse det på i klatring kan vere å kome seg til toppen av ruta på ein annan måte, for så å fire seg nedover ruta med tau frå topp til botn, altså å arbeide baklengs. Då kan ein få eit anna perspektiv på ruta, og det vert kanskje enklare å forstå heilskapen. 

Når ein likevel heng der i klatretau, kan ein tillate seg å teste ut ulike delar av ruta, og gjerne forenkle problemet ved å bruke tak som ikkje høyrer ruta til, eller å nytte seg av tauet som hjelpemiddel for å finte ut tyngdekrafta. Ein er altså i ein konstant loop mellom å forstå problemet, lage seg ein plan og teste denne ut, før ein ser attende og reflekterer over kvifor det ikkje gjekk, og forsøke å forstå problemet på ny, før ein lagar ein ny plan eller testar ut andre strategiar. Dette fordrar både uthald og pågangsmot, men det utviklar også uthald og pågangsmot.

Tilpassa problemopplæring

Det å gi rett problem til elev/klatrar er ikkje alltid heilt beint fram. For kva som vert oppfatta som eit problem, vil vere individuelt, både når det kjem til klatring og matematikk. Det som er eit matematikkproblem å rekne for deg, er ikkje nødvendigvis eit problem for meg. På lik linje som i klatring vil kva som er fysisk krevjande, vere individuelt avhengig, og det som vert opplevd som utfordrande for meg, treng ikkje nødvendigvis vere krevjande for deg.

Men når det rette problemet endeleg møter rett klatrar/elev, kan ein driv og indre motivasjon kome til syne, og ei lyst til å meistre problemet veks fram. Rett problem finn ein gjerne i kryssingspunktet mellom høge nok utfordringar og tilstrekkelege dugleikar. Vert det for lett, vert det keisamt; vert det for vanskeleg, vert du stressa og redd. Ingen av delane er gunstige over tid, verken i matematikkopplæringa eller klatreverda. 

Problem er subjektive, og dermed er tilpassing av problem krevjande, men med god kjennskap til klatraren/eleven og deira styrker, og dessutan potensial for utvikling, kan ein lettare kople rett problem med utøvar. Samstundes må ein ikkje gløyme at det krevst ei god dose eigeninnsats for å verte gode problemløysarar.

Kva kan ein ta med seg frå klatreverda?

Matematikk vert nok for mange tradisjonelt sett på som ein aktivitet der hovudmålet er å finne den ukjente i likninga (x), eller å finne det korrekte svaret på spørsmålet som vert stilt. Men skulematematikken er inne i ei brytningstid. Problemløysing har vorte eit sentralt emne i skulematematikken, både som arbeidsmetode, kjerneelement, læringsmål og ferdigheitsmål. Der vegen mot svaret før var mindre vektlagd, vert no prosessen sett på som vel så interessant som sjølve svaret, og der det å følgje ei oppskrift for å kome fram til svaret tidlegare stod i fokus, er no mangfald i løysingsstrategiar noko som vert løfta fram og verdsett i større grad.

Fleire av tilnærmingane til problemløysing som arbeidsmetode i matematikk framhevar det å samarbeide (t.d. Liljedahl, 2021; Smith & Stein, 2018). Å samarbeide er også noko ein gjer i klatring, og ofte på tvers av dugleiksnivå. Dette er med og skapar eit utviklande fellesskap for klatrarar, for uavhengig av dugleiksnivå kan ein gi kvarandre tilbakemeldingar og framlegg til beta (tips til måte å løyse ein sekvens på). Ein kan heie kvarandre fram, og ikkje minst dele gleda ved at nokon greier å løyse eit problem. 

Gleda av å endeleg få gått eit problem er minst like stor for dei som klatrar på dei lågare gradene, som det er for dei som klatrar på dei høgare gradene, og sjølv om ein ikkje alltid greier å klatre til toppen på rutene, ligg det mykje meistring og glede i opplevinga av å «vere til stades» undervegs, som er vel så viktig som å gå ruta. 

Dette er eit fokus som ein gjerne kan overføre til matematikktimane: Når høgt presterande og lågpresterande elevar får vere i det same miljøet, kan dei få moglegheit til å lære av kvarandre – dei kan berike kvarandre med kunnskap og verdifulle perspektiv. Sjølv om høgpresterande elevar gjerne forstår matematikken på eit høgare nivå, betyr det ikkje at dei lågt presterande ikkje har noko å bidra med. Dei kan likevel dra kvarandre framover og kome med tilbakemeldingar og tips til løysingar. Til liks med klatring finst det enormt mange måtar å løyse eit problem på, og kanskje er det viktigaste å lære seg å stå i prosessen over tid?

Utvikling av feltet for å nå nye høgder i matematikk

Både klatring og matematikk som felt utviklar seg, og med menneske som utvidar grensene, får me også nye idear om kva som er mogleg. Det som vert rekna som umogleg i dag, vil om 5, 10 eller kanskje 50 år vere mogleg å få til, gitt at menneska held fram med å utvikle både seg sjølv og dei ulike hjelpemidla. 

Det at dei beste klatrarane i verda bruker månadar og år på å gå prosjekta sine, er noko av det som driv klatresporten framover. Desse klatrarane er innbitne og standhaftige og nektar å tenkje at problema er umoglege. Hadde dei vore umoglege, hadde det ikkje vore kalla problem, då hadde det vore kalla umogleg, til liks med dei største matematikarane på feltet som også nektar å erkjenne at nokre problem er uløyselege eller ikkje kan bevisast. 

Det er nettopp desse som utvidar vår felles kunnskapshorisont og forståing av kva som er mogleg å løyse og ikkje. Til dømes då William Cecil Slingsby klatra Store Skagastølstind (Storen) i 1876, var det få før han som trudde det var mogleg, og sjølv delar av reisefølgjet hans trudde heilt til det siste at det var umogleg å nå toppen – han såg trass alt uangripeleg ut på avstand. Likevel gjekk Slingsby på, utforska fjellet og fann ein veg. Det umoglege vart mogleg (Larsen, 2015).

Frå å ha vore ein aktivitet for dei få, og historisk sett for eliten i samfunnet, har klatring blitt til ein folkesport med stadig fleire aktive utøvarar, der både kvinner og menn (både med og utan funksjonsnedsettingar) er med og dreg sporten vidare. Klatring er blitt ein aktivitet for alle. Slik kan det også vere med utviklinga innanfor skulematematikken. Nye hjelpemiddel, verktøy og undervisingsmetodar dukkar opp og gjer til at det som før vart opplevd som utilgjengeleg og umogleg for dei mange, i dag kan opplevast som overkomeleg. 

Kanskje har også skulematematikken vorte opplevd som eit fag for dei spesielt interesserte og inviterte, der ein må vere ein del av ein elite for å få tilgang til den godt gøymde kunnskapen, og der mykje av materien står fram som uangripeleg sett frå avstand? 

Men også her er det mogleg å drive feltet framover og få større delar av elevmassen til å bli aktive utøvarar. Skal me få til det, kan ein god stad å byrje vere å styrke elevane gjennom ei bevisstgjering på strategiar for å løyse problem. Slik får dei fleire verktøy å nytte når det røyner på, og større sjanse for å kome seg forbi cruxa dei møter i matematikktimane. For problem kjem dei til å møte, og det beste me kan gjere for å hjelpe dei å løyse det, er å lære dei å angripe problemet, stå i det, og prøve på ny og på ny.

Litteratur

Beal, P. (2011). Bouldering. Movement, Tactics, and Problem Solving (1. utg.). The Mountaineers Books.

Kongelf, T.R. (2011). What characterises the heuristic approaches in mathematics textbooks used in lower secondary schools in Norway? Nordic Studies in Mathematics Education, 16(4), 5–44.

Larsen, A. (2015). Storen. Historien om menneskene og klatringen på Store Skagastølstind i Jotunheimen. (1. utg.). Fri Flyt AS.

Liljedahl, P. (2021). Building thinking classrooms in mathematics, grades K-12: 14 teaching practices for enhancing learning. Corwin Press.

Pólya, G. (2014). How to Solve It. Princeton University Press. https://doi.org/10.2307/j.ctvc773pk

Smith, M. & Stein, M.K. (2018). Five practices for orchestrating productive mathematical discussion (2. utg.). National Council of Teachers of Mathematics.

Om forfatteren

Odd-Eivind Holo er lektor med tilleggsutdanning, tilsett som avdelingsleiar ved Kvåle skule i Sogndal kommune. Han har ein bachelorgrad i friluftsliv og ein mastergrad i læring og undervising, med fordjuping i matematikk. Han har brei erfaring både frå arbeid i grunnskulen og som lærarutdannar ved Høgskulen på Vestlandet. Spesielle interessefelt er mellom anna djupnelæringsomgrepet og korleis ein kan gjere opplæringa praktisk og relevant for elevane.