Matematikk og klatring kan sjåast på som to svært så
ulike disiplinar. Der klatring er ein fysisk krevjande aktivitet, stiller
matematikken større krav til kognitiv kapasitet. Så finst det då nokon største
felles faktor mellom desse to? For dei som driv med begge delar, vil det
openberre svaret på spørsmålet vere «ja», og at matematikk og klatring djupast
sett handlar om akkurat det same: å løyse problem.
Klatresporten kan grovt sett delast inn i to greiner:
klatring i store høgder med tau, og klatring på lågare høgder utan tau
(buldring). Sistnemnde var opphaveleg ein aktivitet som fjellklatrarar i
England (fortrinnsvis menn) dreiv med på store kampesteinar i låglandet, kjent
som boulders, for å førebu seg på dei verkelege
utfordringane i høgfjellet (Beal, 2011). Eit bulder
(ei klatrerute) vert, av dei som er kjende med lingvistikken i klatresporten,
ofte kalla eit problem. Og her kan ein byrje å
ane likskapar med matematikken.
Eit skikkeleg godt buldreproblem er ei rute ein
treng gjentekne forsøk på for å klare, og fleire klatrarar har gjerne
buldreprosjekt dei bruker månadar og år på å greie å få til, ikkje ulikt dei
verkeleg store matematiske problema som vert arbeida med. Desse problema er for
klatraren såpass fysisk krevjande at klatraren treng lang tid til å forstå
ruta, eller tid til å trene opp kroppen til å takle dei fysiske påkjenningane.
For sjølv om ei rute kan vere sett saman av sekvensar som isolert sett er
overkomelege, vil heilskapen vere såpass utmattande at musklane i kroppen treng
lang tid til tilpasse seg den fysiske påkjenninga, og ikkje minst lang tid på å
restituere etter kvart forsøk.
Likevel gir ikkje dei dedikerte klatrarane opp,
men held ut og prøver på ny og på ny. Eit godt problem tar altså tid å få gått,
men meistringskjensla når ein fyrst toppar ut ruta, er ubeskriveleg.
Problemløysing i klatring er såleis ein tidkrevjande og karakterdannande
aktivitet, ikkje ulikt arbeid med matematikk.
Strategiar for å løyse problem
Så til det reint metodiske når det kjem til
problemløysing, nemleg strategiar for å løyse problem. For det er akkurat her
at matematikarar og klatrarar faktisk arbeider likt. Me har dei same
strategiane for å løyse problem! Klatrarar nyttar, truleg ubevisst, dei fire
stega innanfor matematisk problemløysing som vart skildra av Pólya (2014):
forstå problemet, utvikle ein plan, gjennomføre planen, og sjå seg attende.
I
tillegg vert ei rekkje av dei mest vanlege problemløysingsstrategiane innanfor
matematikk nytta, som til dømes å sjå etter eit mønster, lage ei
teikning/visualisering, gjett og sjekk, løyse ein del av problemet, arbeide
baklengs, tenke på eit liknande problem, forenkle problemet og endre
angrepsmåte (jf. Kongelf, 2011). Men, der klatrarane nyttar desse strategiane
ubevisst som ein naturleg måte å angripe problema på, er det nok meir krevjande
å få elevane til å nytte desse strategiane på ein like naturleg og bevisst
måte. Korleis desse kjem til uttrykk i klatring, skal du få eit innblikk i no:
Det fyrste klatraren gjer når hen står overfor eit problem
(her klatrerute), er å forsøke å forstå problemet.
Kor startar eg, kvar går ruta, kva står fram som cruxet
(ruta sitt vanskelegaste parti), og ikkje minst kva har eg å halde tak i?
Når
ruta er synfart og (antatt) forstått, gir klatraren seg i kapp med ruta. Fyrste
forsøk vert ofte etter strategien gjett og sjekk.
Du anar jo aldri heilt kva som møter deg der i det ukjente, så ein må berre gi
det eit forsøk.
I mange av forsøka møter ein (bokstaveleg talt) veggen, kva
gjer ein så? Jo, ein tyr til andre strategiar. Til dømes med å løyse ein liten del av problemet. Klatraren går dei
fyrste flytta på ruta og får kontroll på dette,
så forsøker han gjerne ein annan del av ruta, testar ut grepa og flytta og øver
inn desse. Kanskje er det delar av ruta som kjennest like ut som noko ein har
klatra før? Ofte lønner det seg å tenkje på eit
liknande problem, og hugse attende på noko ein har gjort tidlegare.
Dette kan gi klatraren både ein positiv sjølvtillitsboost og ein ny giv.
Når
ein har forsøkt mange gonger, og kanskje greidd å klatre kvar enkelt sekvens,
er det tid for å kople sekvensane saman til ein heilskap. Ein kan ofte sjå
klatrarar stå i botn av ruta og «klatre på staden» med hendene rett framføre
seg, altså ei mental visualisering av ruta, før eit viktig støt (forsøk). Klatraren går gjennom ruta flytt for
flytt, sekvens for sekvens, frå botn til topp. Kanskje vil ein kunne finne eit slags mønster i ruta, ein slags rytme som
gjer at ruta fester seg i kroppen. Andre gonger har klatraren teikna opp ruta på papir for å få oversikt eller for
å kunne memorere kva ein skal gjere på dei ulike sekvensane.
Når ingenting av dette fungerer, er det på tide å endre angrepsmåte. Ein måte å løyse det på i klatring
kan vere å kome seg til toppen av ruta på ein annan måte, for så å fire seg
nedover ruta med tau frå topp til botn, altså å
arbeide baklengs. Då kan ein få eit anna perspektiv på ruta, og det vert
kanskje enklare å forstå heilskapen.
Når ein likevel heng der i klatretau, kan
ein tillate seg å teste ut ulike delar av ruta, og gjerne forenkle problemet ved å bruke tak som ikkje høyrer
ruta til, eller å nytte seg av tauet som hjelpemiddel for å finte ut
tyngdekrafta. Ein er altså i ein konstant loop mellom å forstå problemet, lage
seg ein plan og teste denne ut, før ein ser attende og reflekterer over kvifor
det ikkje gjekk, og forsøke å forstå problemet på ny, før ein lagar ein ny plan
eller testar ut andre strategiar. Dette fordrar både uthald og pågangsmot, men
det utviklar også uthald og pågangsmot.
Tilpassa problemopplæring
Det å gi rett problem til elev/klatrar er ikkje
alltid heilt beint fram. For kva som vert oppfatta som eit problem, vil vere
individuelt, både når det kjem til klatring og matematikk. Det som er eit
matematikkproblem å rekne for deg, er ikkje nødvendigvis eit problem for meg.
På lik linje som i klatring vil kva som er fysisk krevjande, vere individuelt
avhengig, og det som vert opplevd som utfordrande for meg, treng ikkje
nødvendigvis vere krevjande for deg.
Men når det rette problemet endeleg møter rett klatrar/elev,
kan ein driv og indre motivasjon kome til syne, og ei lyst til å meistre
problemet veks fram. Rett problem finn ein gjerne i kryssingspunktet mellom
høge nok utfordringar og tilstrekkelege dugleikar. Vert det for lett, vert det
keisamt; vert det for vanskeleg, vert du stressa og redd. Ingen av delane er
gunstige over tid, verken i matematikkopplæringa eller klatreverda.
Problem er
subjektive, og dermed er tilpassing av problem krevjande, men med god kjennskap
til klatraren/eleven og deira styrker, og dessutan potensial for utvikling, kan
ein lettare kople rett problem med utøvar. Samstundes må ein ikkje gløyme at
det krevst ei god dose eigeninnsats for å verte gode problemløysarar.
Kva kan ein ta med seg frå klatreverda?
Matematikk vert nok for mange tradisjonelt sett på
som ein aktivitet der hovudmålet er å finne den ukjente i likninga (x), eller å
finne det korrekte svaret på spørsmålet som vert stilt. Men skulematematikken
er inne i ei brytningstid. Problemløysing har vorte eit sentralt emne i
skulematematikken, både som arbeidsmetode, kjerneelement, læringsmål og
ferdigheitsmål. Der vegen mot svaret før var mindre vektlagd, vert no prosessen
sett på som vel så interessant som sjølve svaret, og der det å følgje ei oppskrift
for å kome fram til svaret tidlegare stod i fokus, er no mangfald i
løysingsstrategiar noko som vert løfta fram og verdsett i større grad.
Fleire av tilnærmingane til problemløysing som arbeidsmetode
i matematikk framhevar det å samarbeide (t.d. Liljedahl, 2021; Smith &
Stein, 2018). Å samarbeide er også noko ein gjer i klatring, og ofte på tvers
av dugleiksnivå. Dette er med og skapar eit utviklande fellesskap for
klatrarar, for uavhengig av dugleiksnivå kan ein gi kvarandre tilbakemeldingar
og framlegg til beta (tips til måte å løyse ein
sekvens på). Ein kan heie kvarandre fram, og ikkje minst dele gleda ved at
nokon greier å løyse eit problem.
Gleda av å endeleg få gått eit problem er
minst like stor for dei som klatrar på dei lågare gradene, som det er for dei
som klatrar på dei høgare gradene, og sjølv om ein ikkje alltid greier å klatre
til toppen på rutene, ligg det mykje meistring og glede i opplevinga av å «vere
til stades» undervegs, som er vel så viktig som å gå
ruta.
Dette er eit fokus som ein gjerne kan overføre til
matematikktimane: Når høgt presterande og lågpresterande elevar får vere i det
same miljøet, kan dei få moglegheit til å lære av kvarandre – dei kan berike
kvarandre med kunnskap og verdifulle perspektiv. Sjølv om høgpresterande elevar
gjerne forstår matematikken på eit høgare nivå, betyr det ikkje at dei lågt
presterande ikkje har noko å bidra med. Dei kan likevel dra kvarandre framover
og kome med tilbakemeldingar og tips til løysingar. Til liks med klatring finst
det enormt mange måtar å løyse eit problem på, og kanskje er det viktigaste å
lære seg å stå i prosessen over tid?
Utvikling av feltet for å nå nye høgder i matematikk
Både klatring og matematikk som felt utviklar seg,
og med menneske som utvidar grensene, får me også nye idear om kva som er
mogleg. Det som vert rekna som umogleg i dag, vil om 5, 10 eller kanskje 50 år
vere mogleg å få til, gitt at menneska held fram med å utvikle både seg sjølv
og dei ulike hjelpemidla.
Det at dei beste klatrarane i verda bruker månadar og
år på å gå prosjekta sine, er noko av det som driv klatresporten framover.
Desse klatrarane er innbitne og standhaftige og nektar å tenkje at problema er
umoglege. Hadde dei vore umoglege, hadde det ikkje vore kalla problem, då hadde det vore kalla umogleg, til liks med dei største matematikarane på
feltet som også nektar å erkjenne at nokre problem er uløyselege eller ikkje
kan bevisast.
Det er nettopp desse som utvidar vår felles kunnskapshorisont og
forståing av kva som er mogleg å løyse og ikkje. Til dømes då William Cecil
Slingsby klatra Store Skagastølstind (Storen) i 1876, var det få før han som
trudde det var mogleg, og sjølv delar av reisefølgjet hans trudde heilt til det
siste at det var umogleg å nå toppen – han såg trass alt uangripeleg ut på
avstand. Likevel gjekk Slingsby på, utforska fjellet og fann ein veg. Det
umoglege vart mogleg (Larsen, 2015).
Frå å ha vore ein aktivitet for dei få, og historisk sett
for eliten i samfunnet, har klatring blitt til ein folkesport med stadig fleire
aktive utøvarar, der både kvinner og menn (både med og utan
funksjonsnedsettingar) er med og dreg sporten vidare. Klatring er blitt ein
aktivitet for alle. Slik kan det også vere med utviklinga innanfor
skulematematikken. Nye hjelpemiddel, verktøy og undervisingsmetodar dukkar opp
og gjer til at det som før vart opplevd som utilgjengeleg og umogleg for dei
mange, i dag kan opplevast som overkomeleg.
Kanskje har også skulematematikken
vorte opplevd som eit fag for dei spesielt interesserte og inviterte, der ein
må vere ein del av ein elite for å få tilgang til den godt gøymde kunnskapen,
og der mykje av materien står fram som uangripeleg sett frå avstand?
Men også
her er det mogleg å drive feltet framover og få større delar av elevmassen til
å bli aktive utøvarar. Skal me få til det, kan ein god stad å byrje vere å
styrke elevane gjennom ei bevisstgjering på strategiar for å løyse problem.
Slik får dei fleire verktøy å nytte når det røyner på, og større sjanse for å
kome seg forbi cruxa dei møter i matematikktimane. For problem kjem dei til å
møte, og det beste me kan gjere for å hjelpe dei å løyse det, er å lære dei å
angripe problemet, stå i det, og prøve på ny og på ny.
Litteratur
Beal,
P. (2011). Bouldering. Movement,
Tactics, and Problem Solving (1. utg.). The Mountaineers
Books.
Kongelf,
T.R. (2011). What characterises the heuristic approaches
in mathematics textbooks used in lower secondary schools in Norway? Nordic Studies in Mathematics Education, 16(4), 5–44.
Larsen, A. (2015). Storen. Historien om menneskene og klatringen
på Store Skagastølstind i Jotunheimen. (1. utg.). Fri Flyt
AS.
Liljedahl,
P. (2021). Building thinking
classrooms in mathematics, grades K-12: 14 teaching practices for enhancing
learning. Corwin Press.
Pólya,
G. (2014). How to Solve It.
Princeton University Press. https://doi.org/10.2307/j.ctvc773pk
Smith, M. & Stein, M.K. (2018). Five
practices for orchestrating productive mathematical discussion
(2. utg.). National
Council of Teachers of Mathematics.
Om forfatteren
Odd-Eivind Holo er lektor med tilleggsutdanning, tilsett som
avdelingsleiar ved Kvåle skule i Sogndal kommune. Han har ein bachelorgrad i
friluftsliv og ein mastergrad i læring og undervising, med fordjuping i
matematikk. Han har brei erfaring både frå arbeid i grunnskulen og som
lærarutdannar ved Høgskulen på Vestlandet. Spesielle interessefelt er mellom
anna djupnelæringsomgrepet og korleis ein kan gjere opplæringa praktisk og
relevant for elevane.
