Analytisk observasjon av elevers matematiske tenkning

Etterutdanning med målsetning om å utvikle læreres kapasitet til å observere, analysere og respondere på elevers matematiske tenkning (elevers tenkning) fremheves i forskningslitteraturen (Goldsmith, Doerr, & Lewis, 2014).

I nye læreplaner for Fagfornyelsen utfordres læreren til nettopp dette.

Knyttet til ett av kjerneelementene skal for eksempel elevene «utforme eigne resonnement både for å forstå og for å løyse problem. (...) elevane grunngir framgangsmåtar, resonnement og løysingar og beviser at desse er gyldige» (Utdanningsdirektoratet, 2019).

Når elever skal utforme egne resonnementer og begrunne fremgangsmåter, utfordres læreren til å observere, analysere og respondere på elevers tenkning (analytisk observasjon, noticing på engelsk).

Profesjonell analytisk observasjon knyttes til ulike praksiser som har konsekvenser for hva lærere ser og gjør, og selv om disse praksisene tar årevis å lære, er læring mulig i etterutdanning. Utvikling av egen evne til analytisk observasjon gjennom etterutdanning er altså både viktig og mulig.

I etterutdanningsprosjektet Mestre Ambisiøs Matematikkundervisning (MAM, 1) samarbeider lærere og lærerutdannere i sykluser med utprøving og utforsking (læringssykluser, se figur 1).

Ambisiøs matematikkundervisning bygger på noen viktige prinsipper, eksempelvis at elever er opptatt av å skape mening og bør få like muligheter til å lære viktige matematiske ideer og tenkemåter.

Mål med MAM er å sette ambisiøse mål for elevenes læring, samt å utvikle evnen til å bygge på elevers tenkning i undervisningen. Matematikklærere utfordres til å engasjere seg i elevens tenkning, stille spørsmål, observere og vurdere elevenes resonnement, språk og argumentasjon og bygge på dette i undervisningen.

Slik undervisning forutsetter at lærerne behersker analytisk observasjon. I MAM-prosjektet øver en på analytisk observasjon gjennom læringssykluser.

1) Mer om MAM på https://www.matematikksenteret.no/kompetanseutvikling/mam.

Les også: Bevisets stilling i matematikkundervisningen

Læringssyklus

I MAM ble 30 matematikklærere fra mellomtrinnet invitert til å delta i ni fulle læringssykluser (figur 1) i en periode på to år.

Hver syklus består av seks trinn:

1) Forberedelse gjennom å se en film om gjennomføringen av en bestemt undervisningsaktivitet, samt lese artikler.

2) Lærerutdanneren leder en diskusjon av filmen og artikkelen.

3) Lærere planlegger sammen en undervisningsaktivitet for elever. Lærerutdanneren veileder.

4) En av lærerne gjennomfører en øving med lærerutdanneren og de andre lærerne som elever. Alle kan be om pause for å stille spørsmål, eller for å komme med alternative forslag til hva læreren kan si eller gjøre.

5) Den samme læreren prøver ut undervisningsaktiviteten med elever. Alle kan be om pause for å stille spørsmål, eller komme med forslag til hva læreren kan si eller gjøre.

6) Lærergruppen analyserer utprøvingen med lærerutdanneren som veileder.

Her vil diskusjon av utprøvingen være i fokus (punkt 6).

Et rammeverk utviklet av van Es (2011) er benyttet i analyser av diskusjonene. Dette rammeverket er utviklet for å få tak i både hva lærere observerer og hvordan de gjør det, samt hvilket nivå disse observasjonene er på.

Van Es deler inn analytisk observasjon i fire nivå: basis, blandet, fokusert og utvidet.

Rettes oppmerksomheten mot hele klassen eller lærerens undervisning, er den analytiske observasjonen på lavere nivå enn om enkeltelever eller sammenhengen mellom undervisning og elevers læring er i fokus. Deskriptive og evaluerende kommentarer representerer lavere nivå av observasjon, mens høyere nivåer karakteriseres ved vekt på elevers tenkning.

I denne sammenheng vil kun eksempel som illustrerer funn fra analysen presenteres.

Les også: Meningsfull matematikk-undervisning for alle

Hva og hvordan lærere observerer

Eksemplet er fra en diskusjonsøkt på syv minutt fra tredje samling. Aktiviteten i denne læringssyklusen er et kvikkbilde (figur 2).

Kvikkbilder er designet for å engasjere elever til å visualisere antall og til å danne mentale representasjoner av et antall. Uten tid til å telle blir elever invitert til å forklare og diskutere hvilken strategi de brukte for å finne antall prikker i kvikkbildet.

I planleggingsøkten diskuteres mål for økten. Konklusjonen blir at målet skal være distributive egenskaper ved multiplikasjon.

Deltakerne håper at undervisningen legger til rette for at noen av elevene skal si at de ser antallet prikker som 3 ∙ 5 + 3 ∙ 4 og at andre ser det som 3 ∙ 9 (eller 3 ∙ (5 + 4)), slik at de kan bruke disse to strategiene til å diskutere distributivitet.

I utprøvingen er dette to av forslagene elevene kommer med. I diskusjonsøkten diskuteres både elevers tenkning og hvordan de responderte/kunne ha respondert på elevers tenkning.

Noen utsagn tyder på analytisk observasjon av lavere nivå (for eksempel «Elevene var også veldig flinke til det (å forklare)»). Men, utsagn som kan knyttes til analytisk observasjon tyder i stor grad på at diskusjonsøkter i MAM inviterer til høyere nivåer av analytisk observasjon.

Slike eksempler vil derfor trekkes frem her. van Es (2011) knytter høyere nivåer av analytisk observasjon til at fokuset er på forholdet mellom elevers tenkning og undervisning, og mot slutten av diskusjonsøkten har vi et eksempel.

Deltakerne diskuterer eksemplene de brukte knyttet til distributivitet i oppsummeringen, og på tavla står det følgende under hverandre: 16 · 4 = (10 · 4) + (6 · 4) og 32 · 6 = (30 · 6) + (2 · 6). De diskuterer om de fikk klart nok frem den distributive lov for multiplikasjon, og en lærer (L1) starter diskusjonen ved å si hva vedkommende pleier å gjøre i egen undervisning:

L1: Hvis du hadde skrevet, eller hvis du hadde satt en pil ned fra 16 og sagt “16 er jo 10 pluss 6”. Du skrev det jo der borte (viser til (10 ∙ 4) + (6 ∙ 4)), men hvis du hadde satt det i en parentes under 16 der.

Veileder (V): Nei, jeg ville heller, jeg tror jeg heller bare fortsatt jeg.

L1: Ja, du ville bare fortsatt?

V: Det er jo det som er hele poenget. For jeg tenkte på det (mens undervisningen pågikk), men gjorde det ikke. Det er det som er greia og.

L2: Skrive videre «er lik 10 pluss 16, parentes».

V: 10 pluss 6, ja.

L2: Ja, 10 pluss 6 (læreren som har undervist skriver = (10 + 6) ∙ 4 bak (10 ∙ 4) + (6 ∙ 4).

V: For den savnet jeg. Det er litt dårlig gjort å si det nå, men jeg tenkte at det ikke var noe poeng å si det da (i undervisningen) heller.

Flere: Ja.

L1: (Går opp til tavla). Ofte så bruker jeg, jeg bruker piler og sånt, og hvis jeg hadde gjort noe sånt (i min undervisning) før jeg går videre hit (peker på (10 ∙ 4) + (6 ∙ 4)). (...) «16 hva er det for noe da? Det er jo det samme som en tier og 6» (skriver (10 + 6) under 16). Da hadde du på en måte, da hadde du fått det det (peker på (10 + 6) ganger 4).

V: Men, da kunne du like godt ha skrevet den bortover da, før den andre (peker på (10 ∙ 4) + (6 ∙ 4) på tavla).

L1: Ja. Så den siste her, ja (peker på (10 + 6) ∙ 4 på tavla).

V: At du kunne tatt den ((10 + 6) ∙ 4) i midten der, det kunne vi gjort. I stedet for, jeg skjønner hva du mener med å skrive det under. Men, nå er det jo nettopp den der med bruk av likhetstegnet vi skal vise. (...)

L1: Ja, for da er du inne i den siste loven (distributivitet).

Deretter fortsetter diskusjonen om hvordan distributivitet synliggjøres i det som står på tavla.

Basert på at elevene var opptatt av at 4 skulle stå til slutt ((10 + 6) ∙ 4), diskuterer deltakerne videre hvor viktig det vil være å også diskutere kommutativitet med elevene, at (10 + 6) ∙ 4 = 4 ∙ (10 + 6).

Her foreslår veileder at hun heller ville trukket inn et nytt eksempel (7 ∙ 43) for at det her vil være mer naturlig å sette 43 = 40 + 3 enn å «dele opp» 7, og dermed omgrupperes (lærerne sier «deles») det andre tallet naturlig i dette eksemplet, noe som vil gi 7 ∙ 43 = 7 ∙ (40 + 3).

Analytisk observasjon på høyt nivå knyttes til vekt på sammenhengen mellom undervisning og elevers læring (van Es, 2011).

Gjennomgående i MAM-prosjektets diskusjonsøkter er diskusjoner av sammenhenger mellom undervisning (inkludert planlegging og øving) og elevers tenkning, slik elevers tenkning har kommet til uttrykk i selve undervisningen. I eksemplet ovenfor er det detaljer ved undervisningen som diskuteres, som hvordan en kan få klarere frem både distributive og kommutative egenskaper ved multiplikasjon i undervisningen. Denne pedagogiske diskusjonen tar utgangspunkt i elevers tenkning observert i undervisningen.

Les også: En annerledes matematikk-undervisning

Avrunding

Eksempelet er representativt for alle diskusjonsøktene i MAM, og tyder på at deltakere i læringssykluser får mulighet til å prøve ut og diskutere, og dermed lære profesjonell analytisk observasjon.

Med referanse til spesifikke observasjoner fra klasserommet diskuterer deltakerne observasjonene og de foreslår alternative pedagogiske valg en kunne gjort i undervisningen. Diskusjoner som dette knyttes av van Es (2011) til det høyeste nivået av analytisk observasjon.

Basert på dette vil jeg anbefale kollegier, som vil utvikle sin kompetanse i analytisk observasjon, til å lese mer om MAM-prosjektet og de etterutdanningsmuligheter deltakelse i læringssykluser kan gi.

Referanser:

Goldsmith, L. T., Doerr, H. M., & Lewis, C. C. (2014): Mathematics Teachers’ Learning: A Conceptual Framework and Synthesis of Research. Journal of Mathematics Teacher Education, 17(1), 5–36.

Utdanningsdirektoratet (2019): Læreplan i matematikk for 1.-10. trinn. https://www.udir.no/lk20/mat01-05.

van Es, E.A. (2011): A Framework for Learning to Notice Student Thinking. I M.G. Sherin, V.R. Jacobs, & R.A. Philipp (red.): Mathematics Teacher Noticing. Seeing through Teachers’ Eyes (s. 134–151). Routledge.