Opplæring for elever med matematikkvansker

Denne artikkelen oppsummerer noe av forskningen som er gjort på effekter av spesialpedagogisk undervisning for elever med matematikkvansker og skisserer hva som kjennetegner den undervisningen som virker best. Artikkelforfatterne beskriver hva som er de vanligste problemene elever med matematikkvansker sliter med og hvordan man kan identifisere disse.

Hvor gode er norske elever i matematikk?

Norske elevers matematikkferdigheter blir målt gjennom Programme for International Students Assessment (PISA) og Trends in International Mathematics and Science Study (TIMSS) hvert 3. og 4. år (Kjærnsli & Olsen, 2013). Resultatene til de norske elevene på PISA i 2012 er ikke statistisk signifikant under OECD-gjennomsnittet, og utviklingen fra 2003 til 2012 viser at norske elever presterer stabilt og i underkant av gjennomsnittet i OECD (Kjærnsli & Olsen, 2013). Resultatene fra TIMSS 2011 viste signifikant fremgang i matematikk sammenlignet med tidligere undersøkelser (Grønmo mfl., 2012), og norske elever på 8. trinn skårer like godt som elevene i Finland. Grønmo mfl. (2012) konkluderer med følgende utsagn: «den negative trenden som Norge opplevde på begynnelsen av årtusenet i både TIMSS og PISA, ser ut til å ha snudd» (Grønmo mfl., 2012, s. 39).

De skriver videre at det fortsatt er et stykke igjen for å sikre gode nok ferdigheter hos norske elever og at det er forbedringsområder for norsk skole både når det gjelder de flinke og de svake elevene i matematikk.

Betydningen av nedsatte matematikkferdigheter

Reduserte ferdigheter i matematikk kan ha stor betydning for videre skolegang og arbeidsliv. Det kan føre til redusert inntekt, reduserte muligheter for valg av yrke og arbeidsoppgaver (Fuchs mfl., 2008). Mange elever med utfordringer i matematikk slutter på skolen før videregående utdanning er fullført, de kan ha problemer med å hjelpe egne barn med matematikklekser, og de kan ha vanskeligheter med å skaffe seg arbeid og derigjennom ha reduserte muligheter for å bidra til egen og fellesskapets utvikling (Sjøvoll, 2002). Geary (2011a) hevder at sosiale og individuelle kostnader av reduserte matematiske ferdigheter har større konsekvenser enn reduserte leseferdigheter. Dette kan skyldes at flere har utfordringer med matematikk enn med lesing, samtidig som stadig flere yrker har økende krav om gode matematikkferdigheter.

Det kan være mange årsaker til matematikkvansker og de spenner fra lite forberedte lærere, dårlig eller feil undervisning, for få ressurser til å følge opp med tidlig innsats, til for lite kunnskap om å avdekke elevers vansker og mangelfull kompetanse om effektive tiltak. Lærerens atferd og kompetanse har med andre ord stor betydning for utvikling av elevers matematikkferdigheter.

Utviklingen av grunnleggende matematiske ferdigheter

Tidlig innsats overfor elever som har behov for spesielt tilrettelagt undervisning i matematikk forutsetter at vi kan identifisere disse elevene på et tidlig tidspunkt. En stor utfordring er at det ikke er enighet om og generelt lite kunnskap om hva som kan regnes som normal utvikling av matematiske ferdigheter (Mazzocco, Murphy, Brown, Rinne & Herold, 2013). Likevel har flere forskere pekt på viktige steg i etablering av grunnleggende matematiske ferdigheter: I løpet av barnehagealder vil et typisk barn ha kunnskaper om tall og telleferdigheter med én-til-én-korrespondanse (Geary, 2011b; Tvedt & Johnsen, 2008), og begynnende ferdigheter i addisjon (Tvedt & Johnsen, 2008). På dette stadiet i matematikkutviklingen benytter barna flere strategier for å løse oppgaver, og den vanligste strategien er å telle på fingrene eller bruke andre objekter til telling (Siegler & Shrager, 1984; Tvedt & Johnsen, 2008).

I løpet av det første skoleåret vil den typiske eleven utvikle repertoaret av strategier for å løse matematiske oppgaver, som for eksempel å telle fra den første i to samlinger eller å telle fra den største samlingen av to (Geary, 2011b). Skal eleven løse regnestykket 4 + 3, vil eleven telle begge samlingene fra 1, når de bruker strategien å telle fra den første i to samlinger. Når eleven benytter strategien å telle fra den største samlingen av to, vil oppgaven bli løst ved at eleven sier: «fire» for den første samlingen og så teller «fem, seks, sju» for den andre. Etablering av flyt og automatisering av disse tidlige addisjonsstykkene kan gjøre at elevene svarer raskere, mer presist og har mindre feil enn om de må telle seg fram med fingrene. En annen fordel vil være at mestring av disse strategiene vil bidra til å videreutvikle nye strategier for oppgaver som kan konstrueres basert på en viss sum (Geary, 2011a). For eksempel i regnestykket 5 + 6, der eleven husker at 5 + 5 er 10 for så å legge til 1.

Flere studier (Geary, 2011a; Jordan, Kaplan, Ramineni & Locuniak, 2009; Mazzocco & Thompson, 2005) peker på viktige grunnleggende matematiske ferdigheter som elevene må mestre for å følge progresjonen i matematikkundervisningen: a) benevne tall, b) identifisering av tallkombinasjoner som hvilket tall er størst av 3 eller 9, c) forståelse av mengde i kombinasjon med tallene, d) flyt eller automatisering av tall og mengde, e) telleferdigheter, og f) kunnskaper om tallinje og hvor tallene skal være på linjen. Disse ferdighetene viser seg å være relativt enkle å etablere, og progresjonen for hver enkelt kan også lett registreres (Locuniak & Jordan, 2008; Siegler & Ramani, 2008).

Identifisering av elever med vansker

Det finnes gode screeningsinstrumenter, som The Early Numeracy Curriculum-Based Measurement (EN-CBM) (Clarke & Shinn, 2004), som kan identifisere elever med vansker i matematikk (Gersten, Jordan & Flojo, 2005). De kan identifiseres i 1. trinn ved at de ofte har problemer med å gjenkjenne og benevne hvilket tall som er størst, om utvalget består av to tall som for eksempel 4 og 9. Disse elevene bruker ofte primitive tellestrategier som å telle på fingrene, og de har vansker med å svare raskt og presist på antall i en mengde (Gersten mfl., 2005). Elever med matematikkvansker har ulike styrker og svakheter innenfor faget. De kan for eksempel være gode til å fingertelle for å løse en matematisk oppgave, mens de er mindre gode til å svare raskt og presist på enkle mattestykker som 7 + 3 = 10 (Dowker, 2005). De svakeste elevene i en klasse har gjerne behov for flere repetisjoner og mer øvelse enn de elevene som er innenfor normalvariasjonen, og de har store utfordringer med å generalisere de ferdighetene de har lært (Tvedt & Johnsen, 2008). Det mest fremtredende trekket er ikke bare at elever med matematikkvansker har mindre matematikkunnskaper enn de andre elevene i klassen, men også at matematikkunnskapene er kvalitativt forskjellig sammenlignet med jevnaldrende. Kvaliteten omhandler blant annet hvilke lærestrategier elevene bruker for å løse oppgaver, hvor begrepet strategi viser til hvilke fremgangsmåter eleven bruker for å løse en matematikkoppgave (Ostad, 2010).

Oppgavespesifikke strategier er ulike løsningsmåter eleven bruker når de løser en matematikkoppgave (Ostad, 2010), og de kan deles i to ulike strategigrupper, retrievalstrategier og backupstrategier. Når elevene benytter retrievalstrategier, svarer de fort og har ikke behov for å bruke ulike hjelpeteknikker for å finne løsningen, mens backupstrategier benyttes når elevene for eksempel må telle på fingrene for å finne svaret på oppgaven. Kroesbergen og Van Luit (2003) hevder at elever med matematikkvansker ofte har utfordringer med generalisering av ferdigheter til nye oppgaver som ikke er øvd på, og at dette kan skyldes en utilstrekkelig bruk av strategier.

På 1990-tallet gjennomførte Ostad (2010) en undersøkelse hvor elever i grunnskolealder med og uten matematikkvansker ble sammenlignet i et longitudinelt perspektiv, kalt matematikk uten matematikkvansker (MUM prosjektet). Hensikten var å undersøke om det var en forskjell mellom elever med og uten matematikkvansker med hensyn til hvilke strategier de brukte og om det var noen forskjell i strategivalg gjennom grunnskolen på tvers av gruppene. Undersøkelsen ble gjennomført med 927 elever fordelt på 12 barneskoler i første, tredje og femte trinn. Resultatene fra MUM-prosjektet viste at backupstrategiene ble brukt av hele 94 prosent av elevene i første trinn, men at utviklingen gikk i retning av mer og mer bruk av retrievalstrategier hos elever uten matematikkvansker. I tillegg til en økning i bruken av retrievalstrategier benyttet de også flere varianter av backupstrategiene, slik at vi kan beskrive ferdighetene deres som strategifleksible (Ostad, 2001). Undersøkelsen viste også at elever med matematikkvansker hadde en ensidig bruk av backupstrategier for å løse matematikkoppgavene gjennom hele grunnskoletiden. Kort oppsummert viser dette at elever uten matematikkvansker hadde et utviklingsmønster som var karakterisert av strategifleksibilitet, mens elever med matematikkvansker hadde et utviklingsmønster som kan karakteriseres som strategirigid. Dette kan tyde på at ensidig bruk av backupstrategier kan være en god indikasjon på matematikkvansker (Ostad, 2010).

Hva er matematikkvansker?

Forekomsten av elever med matematikkvansker i norsk skole anslås å være ca. 10 prosent (Ostad, 2010). Dette er omtrent det samme som forekomsten av elever med lese- og skrivevansker.

Hovedtyngden av forskningen omkring matematikkvansker har konsentrert seg om teori og årsaksforklaringer, men det er ikke etablert en konsensusdefinisjon av hva matematikkvansker er (Ostad, 2010). Forskerne opererer med ulike definisjoner som for eksempel skåre under 35. percentil (Hanich, Jordan, Kaplan & Dick, 2001), skåre under 25. percentil (Fuchs, Fuchs, & Prentice, 2004) og elever som presterer ett trinn under deres jevnaldrende i matematikk (Russell & Ginsburg, 1984). Det er altså vanskelig å få en oversikt over forskningen som er gjort fordi det ikke er enighet om hvordan man skal definere matematikkvansker. Forskningen bærer også preg av stor variasjon i testprosedyrer og mangelfull empirisk forskning om effektive intervensjoner for denne gruppen elever (Gersten, mfl., 2005; Lunde, 2006). Selv om forskere benytter ulike definisjoner og begreper om matematikkvansker, er det enkelte forhold man er enige om. Det er bred konsensus om at elever med matematikkvansker er en heterogen gruppe og at det er mange ulike forklaringer på hvorfor de har vansker. Videre er det enighet om at mange av disse elevene også har utfordringer med lesing og skriving (Dowker, 2005; Ostad, 2010). Gersten mfl. (2005) finner også at matematikkvansker kan endre seg over tid, og at lese- og skrivevansker vil påvirke læring og progresjon i matematikk.

Hvordan foregår undervisningen i norsk skole?

Opplæringsformatet i norsk skole er ofte slik at læreren introduserer et tema og timens aktivitet for hele klassen, gjennom tavleundervisning. Det er kun et mindretall av lærerne som ved oppstart av timene tydeliggjør for elevene hva som er øktens mål (Markussen & Seland, 2013). Dette resulterer i liten grad av oppsummering av læringsmål og læringsutbytte ved endt arbeidsøkt. Informasjonen som presenteres i begynnelsen av en opplæringsøkt, er ofte en beskrivelse av de aktivitetene elevene skal gjennomføre og ikke reelle mål for timen. Når timens aktiviteter er presentert, vil mesteparten av tiden i en skoletime så dreie seg om at elevene skal løse oppgaver individuelt eller i gruppe (Klette, 2013; Markussen & Seland, 2013). Tiden som skal brukes til øvelse på bruk av fagstoffet, vil i varierende grad benyttes til småprat om andre tema enn faget, og dette kan skape uro og et dårlig læringsmiljø (Markussen & Seland, 2013).

Tvedt og Johnsen (2008) beskriver en undervisningssituasjon hvor opplæringen og progresjonen blir lagt opp til den gruppe elever i en klasse som fungerer innenfor normalen, altså den største gruppen med elever. Når disse elevene har mestret oppgavene, vil vanskelighetsgraden på pensum flyttes et trappetrinn opp. Dette innebærer at det ikke sikres at alle elevene har mestret oppgavene, noe som kan resultere i at de svakeste elevene aldri lærer noe skikkelig (Tvedt & Johnsen, 2008). Dette blir en utfordring da vi vet at mestring på ett trinn er avgjørende for progresjon på neste trinn. For eksempel er multiplikasjon en prerekvisitt for divisjon, ved at mestring av multiplikasjonstabellen vil gjøre divisjon mye enklere (Tvedt & Johnsen, 2008). De svakeste elevene i klassen vil dermed ikke etablere prerekvisittene for neste oppgave og vil få stadig større huller i atferdsrepertoaret og gradvis komme lenger og lenger bak de andre elevene i klassen.

I en metaanalyse av Patall, Cooper & Robinson (2008) fant man at foreldrenes involvering og oppfølging av skolearbeid og lekser har større betydning i fag som språklig tilegnelse og lesing enn i matematikk. De hevder at dette kan skyldes at foreldrene ikke er oppdatert om lærestrategier som benyttes i matematikk på skolen og at det er lenge siden de selv har gjennomgått pensumet som deres barn har lekser i. Videre skriver de at foreldreveiledning knyttet til gjennomføring av lekser som for eksempel når og hvor leksene skulle gjøres, formidling av tydelige forventninger og forsterkning når elevene følger disse reglene, har vist seg å ha positiv effekt på elevenes utvikling (Patall mfl., 2008).

Effekten av spesialpedagogisk opplæring

Mye av den spesialpedagogiske opplæringen som gis i dag, har jevnt over så små effekter at den ikke bidrar til å tette gapet i ferdighetsnivå til jevnaldrende elever uten vansker (Lyon, 2001; Lunde, 2003). Det er et økende antall elever som mottar spesialundervisning i Norge, og siden 2004 har andelen økt med over 50 prosent. I skoleåret 2012–2013 var det 52 723 elever som fikk spesialundervisningen (Clausen, 2013). Årsakene til denne økningen er sammensatt, og noen mener at dette kan skyldes økende fokus på akademisk læring i matematikk og norsk (Nøra, 2013). Clausen (2013) hevder at Kunnskapsløftet fra 2006 (Kunnskapsdepartementet, 2006) har for store forventninger til skoleprestasjoner og gode resultater som gjør at flere elever ikke klarer å følge med på en raskere progresjon innenfor hvert fag.

Opplæringsprinsipper for elever med matematikkvansker

Vi vet at matematikkvansker oppstår når barna er små (Schopman & Van Luit, 1996), og allerede i barnehagealder starter utviklingen av tallforståelse og telling (Kroesbergen & Van Luit, 2003). Vi vet at vi må kartlegge elevenes ferdigheter slik at vi kan øve på de ferdighetene som de ikke mestrer, og ikke kaste bort viktig opplæringstid på ferdigheter de kan eller som er for vanskelige. Vi vet vi må kartlegge tidlig, gjerne allerede i barnehagen eller på høsten i første trinn, slik at riktige og effektive tiltak kan iverksettes tidlig i skoleforløpet. Men hva vet vi om effektive tiltak og effektive opplæringsprinsipper? I en metaanalyse av 58 matematikkstudier av Kroesbergen & Van Luit (2003) og i artikkelen til Fuchs mfl. (2008) er det beskrevet flere elementer som kjennetegner effektive matematikkintervensjoner:

For opplæring i grunnleggende ferdigheter er direkte instruksjon (Direct Instruction) en av de mest effektive opplæringsformene. Dette er et opplæringsformat som er ferdighetsorientert, og opplæringen gis av lærer enten én til én eller i små grupper. Opplæringen er nøye planlagt, og mål og ferdigheter er delt opp i små målbare enheter.

Effektiv opplæring må bestå av tydelige og konkrete instruksjoner hvor læreren beskriver og forklarer det elevene har behov for å lære.

Matematikkferdighetene må etableres gradvis ved at man «bygger stein på stein» slik at ferdighetene er sekvensert på en slik måte at vanskelighetsgraden på oppgavene gradvis øker. Dette innebærer at læreren har etablert mange små delmål som forklares og hvor elevene øver hvert delmål til mestring er oppnådd, og at man først da går videre til neste delmål.

Mange repetisjoner og daglige øvelser på samme mål til mestring er nådd. Opplæringsmateriellet endres i takt med mestring slik at generalisering til nytt materiell og ny setting introduseres og øves på.

Individuelle tilrettelagte motivasjonssystemer som hjelp til å etablere oppmerksomhet, samarbeid og optimale læringsbetingelser. De fleste elever med matematikkvansker har lang erfaring med unngåelsesatferd og har utfordringer med oppmerksomhet og samarbeid.

Det er helt nødvendig å gjennomføre gjentatte målinger og samle informasjon om elevens fremgang underveis i en intervensjon, slik at vi sikrer at elevene lærer det de har behov for. Registrering av elevenes progresjon bidrar til at vi kan evaluere opplæringen og eventuelt justere intervensjonen slik at opplæringen blir effektiv eller avbryte ineffektive tiltak.

Intervensjoner hvor opplæringen er basert på samarbeid med jevnaldrende er lite effektivt. Kroesbergen og Van Luit (2003) mener at dette blant annet kan skyldes at jevnaldrende ikke er så gode til å observere andre elevers behov for hjelp, og i tillegg er ikke unge elever så gode til å samarbeide og hjelpe hverandre.

Teknologiske hjelpemidler kan benyttes som en motivasjonsfaktor eller som en hjelp til å øve på flyt av matematikkoppgaver, men hjelpemidlene kan ikke erstatte lærerbasert opplæring.

I en metaanalyse av Browder, Spooner, Ahlgrim-Delzell, Harris & Wakeman (2008) gjennomgikk de 68 studier om matematikkopplæring for elever med stor kognitiv svikt som for eksempel utviklingshemming og autisme. De finner at systematisk instruksjon med operasjonaliserte mål, bruk av systematisk avtrapping av hjelp og feedback er de strategiene som per i dag kan sies å oppfylle kravene til evidensbasert god praksis. De understreker også viktigheten av øvelser på ulike ferdigheter i dagliglivets situasjoner, slik at ferdighetene blir funksjonelle og meningsfulle for elevene (Browder mfl., 2008).

Math Recovery

Math Recovery (Wright, Martland, Stafford & Stanger, 2006) er en forskningsbasert intervensjon for elever i grunnskolen som har utfordringer med matematikk. Math Recovery ble utviklet i Australia på 1990-tallet, og har siden den gang blitt implementert flere steder i USA, Storbritannia, New Zealand og Canada. I USA har Math Recovery blitt implementert i skoledistrikter i 25 stater, og over 6000 elever og 250 lærere har deltatt (Smith, Cobb, Farran, Cordray & Munter, 2013; Wright mfl., 2006). Hensikten med Math Recovery er å identifisere elever som strever med matematikk tidlig (6–7 år gamle) og deretter gjennomføre intensiv opplæring både individuelt og i grupper slik at eleven på sikt kan ha nytte av ordinær undervisning i vanlig klasse (Wright mfl., 2006).

Den individuelle opplæringen innebærer 30 minutters opplæring per dag i 12–14 uker. Math Recovery har fokus på telling, tall og regning, og programmet er delt inn i fem nivåer.

Nivå 1 har målsettinger knyttet til telling som for eksempel a) å si tallene fra 1–20, b) tallene fra 1–10, c) telle objekter, d) telle og identifisere antall i et mønster og e) fingermønstre.

Nivå 2 konsentrerer seg om a) tallsekvenser fra 1–30, b) tallene fra 1–20, c) telle forlengs og baklengs hvor noen av objektene er synlig mens andre er tildekt, d) fingermønstre og e) like grupper og deling. Nivå 3–5 har mer vekt på regning og mindre på telling og fingermønstre (Wright mfl., 2006).

I Math Recovery er det i tillegg til mange ulike matematikkprogrammer og øvelser, også utarbeidet et kartleggingsverktøy. Kartleggingen gjennomføres individuelt, og hele kartleggingsøkten videotapes. Dette gjøres for at læreren skal ha fullt fokus på eleven og observere hvordan eleven svarer på oppgaven, samt hvilke strategier eleven benytter for å komme frem til en løsning. Videoklippene gjennomgås etter at kartleggingen er avsluttet, for å registrere og oppsummere elevens prestasjoner. Kartleggingen benyttes for å finne elevens kunnskapsnivå og som grunnlag for beslutning om hvilke programmer eleven skal begynne opplæringen på. Kartleggingen brukes også for å måle elevens progresjon i løpet av skoletiden (Wright mfl., 2006).

Dowker (2004) oppsummerer resultatene fra Math Recovery i perioden 1992 til 1997. Hun finner at over 75 prosent av alle elever som under pretest hadde matematiske ferdigheter godt under hva som var aldersadekvat, oppnådde aldersadekvate eller enda høyere skårer i matematikk etter Math Recovery.

En annen undersøkelse viste at av 210 elever hadde 48 prosent forbedret sine ferdigheter med to nivåer innenfor Math Recovery-systemet etter intervensjon. Ytterligere 27 prosent hadde forbedret seg med ett nivå, 15 prosent hadde forbedret seg med tre nivåer, mens kun 6 prosent av elevene ikke hadde noen forbedring i det hele tatt, etter Math Recovery (Willey, Holliday & Martland, 2007).

Smith mfl. (2013) undersøkte effekten av Math Recovery for 343 elever på første trinn. Intervensjon ble gitt en-til-en i 30 minutter 4–5 ganger per uke med en varighet på 11 uker. Elevene ble tilfeldig trukket ut til intervensjon med ulikt oppstartstidspunkt (september, desember og mars måned) eller til venteliste. Resultatene viste signifikante effekter av Math Recovery med liten effektstørrelse på deltesten tallforståelse på Woodcook Johnson III (2001) og stor effektstørrelse på kartleggingen til Math Recovery.

Tzanakaki mfl. (under utgivelse) og Tzanakaki, Hastings, Grindle, Hughes & Hoare (2014) har undersøkt effekten av en tilpasset versjon av Math Recovery for elever med autisme og utviklingshemming. Tilpasningene og endringene som ble gjort er i stor grad i tråd med punktene til både Kroesbergen og Van Luit (2003), Fuchs mfl. (2008) og Browder mfl. (2008). Denne versjonen av Math Recovery baserer seg på opplæringsformatet Discrete Trial Teaching (avgrensede forsøk). Det finnes mye dokumentasjon på at dette formatet ofte gir gode resultater når det gjelder mange ulike ferdigheter for barn med spesielle behov (Smith, 2001) og metoden er en av hjørnestenene i tidlig intervensjonsprogrammer for barn med autisme (Klintwall & Eikeseth, 2014). Resultatene fra denne studien viste at de seks elevene som deltok i prosjektet, hadde framgang etter en intervensjonsperiode på 20 uker (samlet opplæringstid var ca. 20 timer). Framgangen varierte fra 9 til 15 måneder i matematisk alder.

I en større studie undersøkte de effektene av Math Recovery for 22 elever i grunnskolealder med autisme og utviklingshemming (Tzanakaki mfl., 2014). Intervensjonsperioden var 12 uker (samlet opplæringstid varierte fra 3 timer og 30 minutter til 10 timer og 20 minutter) og elevene ble tilfeldig plassert i en intervensjonsgruppe og en kontrollgruppe. Kontrollgruppen mottok matematikkundervisning som vanlig. Resultatene viste at intervensjonsgruppen gjorde det statistisk signifikant bedre enn kontrollgruppen på standardiserte matematiske tester. Framgangen hadde holdt seg til oppfølgingsundersøkelse syv måneder etter intervensjonen.

I den tilpassede versjonen av Math Recovery hadde man lagt større vekt på veldokumenterte metoder og teknikker kjent fra anvendt atferdsanalyse (Klintwall & Eikeseth, 2014; Smith, 2001; Tzanakaki mfl., under utgivelse; Tzanakaki mfl., 2014). Programmene var operasjonaliserte, og for hvert mål var det en gradvis økende vanskelighetsgrad. Det ble øvd på et mål til mestring før man gikk videre til neste målsetting, og det ble øvd på tilstrekkelige mange eksempler av hver oppgave for at generalisering skulle forekomme. Hver elev hadde også et individuelt tilrettelagt motivasjonssystem, og det ble daglig samlet data om elevenes progresjon og fremgang. Det ble formidlet hjelp og systematisk avtrapping av hjelpen når elevene hadde behov for det.

Det er et kriterium at man oppnår generalisering av ferdigheter over samme type oppgaver før man får lov til å gå videre til neste nivå. Antall oppgaver som er nødvendig for å få til dette vil variere fra elev til elev og fra oppgavetype til oppgavetype. Det er derfor nødvendig at læreren har en metode for å registrere når eleven klarer oppgavene uten hjelp. Dette skiller seg fra mer tradisjonell matematikkundervisning der eleven ofte må gjøre et visst antall oppgaver eller holde på med en oppgave en viss tid før han/hun kan gå videre. Progresjon er derfor ikke nødvendigvis knyttet til mestring av oppgavene. Har man mestring som kriterium for progresjon, kan man redusere sjansen for at elever får huller i matematikkrepertoaret sitt og at de dermed vil få problemer senere. Innenfor atferdsanalysen kaller man denne opplæringsstrategien å trene et tilstrekkelig antall eksemplarer (Stokes & Baer, 1977).

Implikasjoner for effektive intervensjoner

Elever med matematikkvansker er en heterogen gruppe, og de individuelle forskjellene er store. Opplæringsinstitusjoner som tar hensyn til de individuelle forskjellene og som klarer å avdekke styrker og svakheter hos hver enkelt elev, har et mye bedre utgangspunkt for å iverksette effektiv og individuell opplæring enn om man antar at ett pensum passer for alle (Miller & Mercer, 1997). Helt fra begynnelsen av 1990-tallet har forskere rapportert om komponenter som bør være med i effektive matematikkintervensjoner, for eksempel: a) konkrete målsettinger, b) systematisk avtrapping av hjelp, c) øve på flyt og automatisering, d) regelmessig registrering av elevenes progresjon, e) feedback, f) «bygge stein på stein» med gradvis vanskeligere oppgaver avhengig av mestring, g) øve på en oppgave til mestring istedenfor overflatisk øvelse på mange oppgaver, h) konkret og tydelig instruksjon fra en voksen, i) planlegge å øve på generalisering (Browder et al., 2008; Dixon, 1994; Kroesbergen & Van Luit, 2003; Mastropieri, Scruggs, & Shiah, 1991; Mercer & Miller, 1992). Klarer vi å ta i bruk disse teknikkene i matematikkopplæringen, kan vi øke sannsynligheten for at elevene vil lære matematikk raskere enn om vi ikke tar hensyn til disse anbefalingene.

Relativt lite (få timer) individuelt tilrettelagt undervisning for elever som strever med matematikk, kan medføre at disse elevene vil ha nytte av ordinær matematikkundervisning etter endt intervensjon. I Norge er det per i dag lite kunnskap om effekten av spesialundervisning og opplæring for elever med matematikkvansker. Fremtidig forskning bør gi oss noen svar om hvordan undervisningen for elever med matematikkvansker foregår, og i hvilken grad personalet på norske skoler benytter de ovennevnte komponentene ved effektive matematikkintervensjoner. Det er mange interessante innspill og diskusjoner om valg av pensum og undervisningsmateriell, men kanskje er det riktig at valg av opplæringsmetode har større innvirkning på effekten av intervensjonen enn pensumet man velger (Slavin & Lake, 2008, s. 482).

Selv om det er lite forskning på effektive intervensjoner, finnes det likevel flere godt dokumenterte opplæringsprinsipper, som nevnt over. Vi mener at undervisningsinstitusjoner i større grad må basere sin undervisning på de opplæringsmetodene som har vist seg å være effektive.

• Hege Tryggestad arbeider som fagleder i Spesialpedagogisk team i Ski kommune.
• Sigmund Eldevik arbeider som førsteamanuensis ved Høgskolen i Oslo og Akershus, Institutt for atferdsvitenskap.

Referanser

Browder, D.M., Spooner, F., Ahlgrim-Delzell, L., Harris, A. A. & Wakeman, S. (2008). A Meta-Analysis on Teaching Mathematics to Students With Significant Cognitive Disabilities. Exceptional Children, 74(4), s. 407–432.

Clarke, B. & Shinn, M. R. (2004). A Preliminary Investigation Into the Identification and Development of Early Mathematics Curriculum-Based Measurement. School Psychology Review, 33 (2), s. 234–248.

Clausen, N. (2013). Varierende effekt av spesialundervisningen. Hentet 5. august 2014, fra http://www.forskningsradet.no/prognettpraksisfou/Nyheter/Varierende_effekt_av_spesialundrvisningen/1253987510085/p1224697992345

Dixon, B. (1994). Research guidelines for selecting mathematics curriculum. Effective School Practices, 13(2), s. 47–55.

Dowker, A. (2004). What works for children with mathematical difficulties? (University of Oxford, Research report no. 554) Hentet fra www.dfespublications.gov.uk.

Dowker, A. (2005). Early Identification and Intervention for Students With Mathematics Difficulties. Journal of Learning Disabilities, 38(4), s. 324–332. doi: 10.1177/00222194050380040801

Fuchs, L.S., Fucha, D., Powell, S. R., Seethaler, P.M., Cirino, P.T. & Fletcher, J.M. (2008). Intensive intervention for students with mathematics disabilities: Seven principles of effectivepraCtice. Learning Disability Quarterly, 31, 79–92. doi: 10.2307/20528819

Fuchs, L.S., Fuchs, D. & Prentice, K. (2004). Responsiveness to mathematical problem solving instruction: Comparing students at risk of mathematics disability with and without risk of reading disability. Journal of Learning Disabilities, 37, s. 293–306. doi: 10.1177/0022194040370040201

Geary, D.C. (2011a). Cognitive Predictors of Achievement Growth in Mathematics: A Five Year Longitudinal Study. Dev Psychol, 47(6), 1539–1552. doi: 10.1037/a0025510

Geary, D.C. (2011b). Consequences, Characteristics, and Causes of Mathematical Learning Disabilities and Persistent Low Achievement in Mathematics. Journal of Developmental & Behavioral Pediatrics, 32 (3), s. 250–263 doi: 10.1097/DBP.0b13e318209edef

Gersten, R., Jordan, N.C. & Flojo, J. R. (2005). Early Identification and Interventions for Students With Mathematics Difficulties. Journal of Learning Disabilities, 38(4), s. 293–304. doi: 10.1177/00222194050380040301

Grønmo, L.S., Onstad, T., Nilsen, T., Hole, A., Aslaksen, H. & Borge, I. C. (2012). Framgang, men langt fram. Norske elevers prestasjoner i matematikk og naturfag i TIMSS 2011. Oslo: Akademika forlag.

Hanich, L. B., Jordan, N. C., Kaplan, D. & Dick, J. (2001). Performance across different areas of mathematical cognition in children with learning difficulties. Journal of Educational Psychology, 93(3), s. 615–626. doi: 10.1037/0022-0663.93.3.615

Jordan, N.C., Kaplan, D., Ramineni, C. & Locuniak, M.N. (2009). Early math matters: Kindergarten number competance and later mathematics. Devlopmental Psychology, 45(3), s. 850–867. doi: 10.1037/a0014939

Kjærnsli, M. & Olsen, V.R. (2013). Fortsatt en vei å gå. Norske elevers kompetanse i matematikk, naturfag og lesing i PISA 2012. Oslo: Universitetsforlaget.

Klette, K. (2013). Hva vet vi om god undervisning? Rapport fra klasseromsforskningen. I: R.

J. Krumsvik & R. Säljö (Eds.), Praktisk-pedagogisk utdanning: en antologi (s. 173–201). Bergen: Fagbokforlaget.

Klintwall, L. & Eikeseth, S. (2014). Early and Intensive Behavioral Intervention (EIBI) in Autism. I: V.B. Patel, V.R. Preedy & C.R. Martin (Eds.), Comprehensive Guide to Autism (s.117–137). New York: Springer.

Kroesbergen, E.H. & Van Luit, J.E.H. (2003). Mathematics Interventions for Children with Special Educational Needs: A Meta-Analysis. Remedial and Special Education, 24, s. 97– 114. doi: 10.1177/07419325030240020501

Kunnskapsdepartementet. (2006). Læreplanverket for Kunnskapsløftet. Oslo: Kunnskapsdepartementet.

Locuniak, M.N. & Jordan, N.C. (2008). Using Kindergarten Number Sense to Predict Calculation Fluency in Second Grade. Journal of Learning Disabilities, 41 (5), s. 451–459. doi:10.1177/0022219408321126

Lunde, O. (2003). Språket som fundament for matematikkundervisningen. Spesialpedagogikk, Nr. 1, s. 38–44.

Lunde, O. (2006). Fra matematikkvansker til matematikkmestring.

Spesialpedagogikk. Nr. 4, s. 4–7.

Lyon, G.R., Fletcher, J.M., Shaywitz, B.A., Wood, F. B., Schulte, A., . . . Torgesen, J. K. (2001). Learning disabilities: An evidence-based conseptualization. I: C.E. Finn, A.J.

Rotherham & C.R. Hokanson (Eds.), Rethinking special education for a new century. (s. 259–287). Washington, D.C: Fordham Foundation and Progressive Policy Institute.

Markussen, E. & Seland, I. (2013). Den gode timen. En kvalitativ studie av undervisning og læringsarbeid på fire ungdomsskoler i Oslo. (NIFU-rapport 3/2013). Hentet fra http://www.udir.no/Tilstand/Forskning/Rapporter/NIFU/Den-gode-timen/

Mastropieri, M.A., Scruggs, T. E., & Shiah, S. (1991). Mathematics instruction for learning

disabled students: A review of research. Learning Disabilities Research & Practice, 6, s. 89–98.

Mazzocco, M.M.M., Murphy, M.M., Brown, E., Rinne, L. & Herold, K.H. (2013). Persistent consequences of atypical early number concepts. Frontiers in Psychology, 4. doi: 10.3389/fpsyg.2013.00486

Mazzocco, M.M.M. & Thompson, R. E. (2005). Kindergarten Predictors of Math Learning Disability. Learning Disabilities Research & Practice, 20 (3), s. 142–155. doi: 10.1111/j.1540 5826.2005.00129.x

Mercer, C.D. & Miller, S. P. (1992). Teaching students with learning problems in math to acguie, understand and aplly basic math facts. Remedial and Special Education, 13(3), s. 19–35.

Miller, S.P., & Mercer, C. D. (1997). Educational aspects of mathematical disabilities. Journal of Learning Disabilitites, 30, s. 47–56.

Nøra, S. (2013). Advarer mot mer spesialundervisning. Hentet 5 august, 2014, fra http://www.forskning.no/artikler/2013/januar/346239

Ostad, S.A. (2001). Matematikkvansker: Et resultat av forsinket eller kvalitativ forskjellig utvikling? Spesialpedagogikk. Nr. 3, s. 9–14.

Ostad, S.A. (2010). Matematikkvansker. En forskningsbasert tilnærming. Oslo: Unipub.

Patall, E.A., Cooper, H. & Robinson, J.C. (2008). Parent Involvement in Homework: A Research Synthesis. Review of Educational Research, 78(4), s. 1039–1101. doi: 10.3102/0034654308325185

Russell, R.L. & Ginsburg, H.P. (1984). Cognitive analysis of children’s mathematical difficulties. Cognition and Instruction, 1, s. 217–244.

Schopman, E.A.M., & Van Luit, J.E.H. (1996). Learning and transfer of prepratory arithmetic strategies among young children with develomental lag. Journal of Cognitive Education, 5, s.117–131.

Siegler, R.S. & Ramani, G.B. (2008). Playing linear numerical board games promotes low income children’s numerical development. Developmental Science, 11(5), s. 655–661. doi: 10.1111/j.14677687.2008.00714.x

Siegler, R.S. & Shrager, J. (1984). Strategy choice in addition and subtraction: How do children know what to do? I: C. Sophian (Ed.), Origins of cognitive skills (s. 229–293). Hillsdale, NJ: Erlbaum.

Sjøvoll, J. (2002). «Hjerne som en mus» eller matematikkvansker. Spesialpedagogikk, Nr. 2, s. 3–12.

Slavin, E.R. & Lake, C. (2008). Effective Programs in Elementary Mathematics: A Best Evidence Synthesis. Review of Educational Research, 78(3), s. 427–515. doi: 10.3102/0034654308317473

Smith, T. (2001). Discrete Trial Training in the Treatment of Autism. Focus on Autism & Other Developmental Disabilities, 16 (2), s. 86–92.

Smith, T.M., Cobb, P., Farran, D.C., Cordray, D.S. & Munter, C. (2013). Evaluating Math Recovery: Assessing the Causal Impact of a Diagnostic Tutoring Program on Student Achievement. American Educational Research Journal, 50(2), s. 397–428. doi: 10.3102/0002831212469045

Stokes, F.T. & Baer, M.D. (1977). An implicit technology of generalization. Journal of Applied Behavior Analysis., 10(2), s. 349–367.

Tvedt, B. & Johnsen, F. (2008). Matematikkvansker. I: B. Gjærum & B. Ellertsen (Eds.), Hjerne og atferd (2. utgave), (s. 515–559). Oslo: Gyldendal akademisk. Tzanakaki, P., Grindle, C.F., Saville, M., Hastings, R.P., Hughes, C.J. & Huxley, K. (under utgivelse). An Individualized Curriculum to Teach Numeracy Skills to Children with Autism: Program Description and Pilot Data. Support for Learning.

Tzanakaki, P., Hastings, R.P., Grindle, C.F., Hughes, C.J. & Hoare, Z. (2014). An Individualized Numeracy Curriculum for Children With Intellectual Disabilities: A Single Blind Pilot Randomized Controlled Trial. Journal of Develomental and Physical Disabilities. doi: 10.1007/s10882-014-9387-z

Willey, R., Holliday, A. & Martland, J. (2007). Achieving new height in Cumbria: Raising standards in early nymeracy through mathematics recovery. Educational & Child Psychology, 24(2), s. 108–118.

Woodcook, R.W., McGrew, K.S. & Mather, N. (2001). Woodcook-Johnson III Test of achievement. Itasca, IL: Riverside Publishing.

Wright, R.J., Martland, J., Stafford, K.A. & Stanger, G. (2006). Early Numeracy: Assessment for teaching & intervention (2nd ed.). London, California, New Delhi, Singapore: SAGE publications Ltd.