Hvordan få elevene til å tenke selv

Elevrollen og lærerrollen er i stadig endring, blant annet ved at læreren i større grad skal legge til rette for utforsk­ning, samarbeid og elevmedvirkning og bidra til elevers relasjonelle forståelse.

Peter Liljedahl, professor ved Simon Fraser University i Vancouver i Canada, har utviklet et rammeverk der målet er at elevene skal tenke og resonnere sammen og individuelt for å sitte igjen med større forståelse og bedre kompetanse (Liljedahl, 2023). I denne artikkelen ønsker vi å beskrive en matematikktime der vi bruker Liljedahls rammeverk når mellomtrinnselever skal arbeide med en algebraoppgave hentet fra mattelist.no [se note 1].

«Hvis vi vil at elevene skal tenke, må vi gi dem noe å tenke over.» (Liljedahl, 2023 s. 33)

Liljedahl (2023) ser på helheten av valg en lærer har i et klasserom. Han tenker på alt fra planlegging, utforming av klasserom og arbeidsmåter til evalueringsstrategier. Liljedahl har utpekt 14 praksiser som retningslinjer for å skape et tenkende klasserom. Hver av disse praksisene har en viktig rolle, som gradvis skal implementeres steg for steg. Når læreren har jobbet på denne måten en stund og er godt kjent med de 14 praksiser, kan modellen anvendes som helhet. På grunn av begrenset tid og omfang har vi i denne artikkelen begrenset oss til de første 9 praksiser fra denne modellen.

1. Oppgaver
2. Gruppesammensetning
3. Elevenes arbeidsrom
4. Innredning
5. Svar på spørsmål
6. Hvordan gi oppgaver
7. Lekser
8. Elevenes selvstendighet
9. Tips og utvidelser
10. Forankring og læring
11. Elevenes notater
12. Hva vi velger å evaluere
13. Formativ vurdering
14. Hvordan vi gir karakterer

Undersøkende og engasjerende oppgaver får elevene til å tenke, eksperimentere og prøve og feile. Gruppestørrelsen og måten gruppene er satt sammen på, har mye å si for elevenes engasjement i samarbeidet. Elever faller fort inn i roller, og mønstre. For å bryte ut av disse mønstrene er det nødvendig med synlige tilfeldig valgte grupper og om nødvendig endring i gruppene underveis. Den perfekte gruppestørrelsen for best produktivitet er tre personer (Liljedahl, 2023).

Elevengasjementet og utholdenheten i oppgaven økte betraktelig når elevene ble stående ved vertikale tavler som hang på veggen. Elevene diskuterte mer matematikk, tenkte mer og holdt ut lenger, selv om oppgavene var vanskelige. For at samtlige gruppemedlemmer skal få tilstrekkelig med tid til å ytre sine tanker og ideer, bør hver gruppe kun ha én tusj, og den som holder tusjen, skal ikke selv ytre sine tanker og ideer (Liljedahl, 2023).

I et tenkende klasserom er det avgjørende hvordan møblene er plassert. Rommet skal signalisere samarbeid og tenkning. Et rom som er møblert på en annen måte enn fremovervendt, inviterer med en gang elevene til mer samarbeid, og læreren prater automatisk mindre. Innredningen av klasserommet bør være slik at elevene velger å stå og samarbeide ved å bevege seg rundt, fremfor å sette seg ned ved pultene (Liljedahl, 2023).

Det er meningsløst å gi elevene en tenkeoppgave dersom læreren besvarer alle spørsmål om hvordan de skal løse den. Derfor må læreren være bevisst på hvilke spørsmål han velger å besvare, og hvordan han velger å lede elevene til å tenke selv. Elever stiller lærere tre typer spørsmål:

Tett-på-spørsmål er ofte litt spontane spørsmål i forbifarten, som røper at eleven ikke har ordentlig fokus på opp­gaven, mens slutt-å-tenke-spørsmål viser at eleven ønsker å få hjelp for å slippe og tenke selv. Fortsett-å-tenke-spørsmål, derimot, blir stilt av elever som ønsker å jobbe og tenke selv. Dette er avklarende spørsmål, spørsmål om hint fordi de står fast, eller spørsmål fordi de trenger utvidelser. Noen elever vil oppleve det som frustrerende å ikke få besvart spørsmålet sitt. Derfor er det viktig at læreren gir en eller annen form for bekreftelse tilbake, som for eksempel (Liljedahl, 2023 s. 102):

1. Er det ikke interessant?
2. Finner du ikke noe mer?
3. Kan du vise meg hvordan du gjorde det?
4. Gjelder det alltid?
5. Hvorfor tror du det er slik?
6. Er du sikker?
7. Gir det mening?
8. Enn om du prøver noe annet?
9. Enn om du prøver med en annen?
10. Spør du meg, eller forteller du meg dette?

Dersom læreren velger å starte timen med en gjennomgang på tavlen, og elevene sitter passivt, vil det være vanskeligere å få energinivået tilstrekkelig opp til at de senere skal tenke selvstendig. Elevene blir mer aktive og engasjerte dersom de står, og derfor kan det være lurt at elevene også står når de får oppgaven presentert av læreren. Når elevene får presentert en oppgave muntlig, tenker de raskere og dypere, og de stiller færre spørsmål.

Når grupper står fast eller trenger utvidelser for å opprettholde flyten, er det lurt å legge til rette for at kunnskapen blir mobilisert. Tips kan gjøre oppgaven mindre vanskelig eller heve elevers kompetanse. Ved økt mobilisering blir elevene mindre avhengige av læreren og mer tenkende selv. Det er viktig at læreren legger til rette for en kultur der det er greit å søke etter hint og ideer fra andre grupper. Læreren vil da få mer frihet til å snakke med en gruppe uforstyrret. Etter at en gruppe har fått nye hint til videreutvikling eller en ny oppgave av læreren, kan de andre gruppene stjele ideer ved å se på deres tavle (Liljedahl, 2023).

«Når vi tenker, blir vi engasjert. Og når vi blir engasjert, tenker vi.» (Liljedahl, 2023 s. 156)

Flyt skapes når det er en balanse i oppgavens vanskelighetsgrad målt opp mot elevenes forutsetninger og matematiske ferdigheter. For å holde elevene i flyt er det viktig å utvide oppgaven løpende og øke vanskelighetsgraden i takt med elevens utvikling. Gjør man ikke det, vil elevene begynne å kjede seg. Men samtidig er det også viktig å ikke øke vanskelighetsgraden for mye, for da vil elevene gå over i en frustrasjonsfase og gi opp. For å opprettholde elevene i flyt kan det være lurt å gi elevene små hint hvis de viser tegn til frustrasjon. Hvis de derimot ser ut til å gå over i kjedsomhet, er det viktig å gi dem nye eller utvidede utfordringer. Mot slutten av timen bør oppgaven forankres i en stigende vanskelighetsgrad, for at elevene skal opprettholde en flyt gjennom sekvensen. Det er flere måter å gjennomføre konsolideringen på, men den mest effektive er å bevege seg rundt og ta utgangspunkt i elevenes tavler. Elevene bør forklare hva de andre gruppene har kommet frem til, før gruppen selv presenterer eget arbeid (Liljedahl, 2023).

Undervisningsopplegget

Undervisningsopplegget vi skulle prøve ut i 7. klasse, heter «Helt i 100!», og er en mattelistoppgave hentet fra Mate­matikksenteret (Se figur 3). Denne valgte vi på grunn av lav inngangs­terskel og stor takhøyde, noe som passet godt til metoden «vertikale tavler» i et tenkende klasserom (Liljedahl, 2023). Vi trakk gruppemedlemmene tilfeldig ved hjelp av en kortstokk og var spent på hvordan gruppene ville fungere.

Gjennom økten fikk elevene erfaring med overgangen fra aritmetikken til algebraisk tenkning. I tillegg jobbet elevene også med figurtalloppgaver som trente dem i å lete etter møns­ter. I tråd med Liljedahls teori om hvordan en oppgave bør introduseres, presenterte vi oppgaven muntlig og skrev ned de viktigste detaljer på tavlen. Ved en muntlig gjennomgang tenker elevene raskere og dypere enn ved å få oppgaven utdelt på papir (Liljedahl, 2023).

I forkant av undervisningstimene var vi spente på om vi hadde lagt oss på et for vanskelig nivå. Vi tenkte at samtlige grupper kom til å jobbe godt med utregningene av kvadratene, men vi var spente på hvilke sammenhenger elevene kom til å se, og om noen kom til å klare å uttrykke den generelle formelen ved å bruke et matematisk språk. [se note 2]

Læreren kan ha flere intensjoner med den matematiske samtalen i klasserommet. Det kan være han ønsker en åpen strategideling der elevene skal tenke ut flest mulige strategier til en oppgave. I denne økten ønsket vi at elevene skulle finne så mange sammenhenger som mulig og etter hvert se om de kunne sette mønsteret sammen i et algebraisk system (Wæge og Torkildsen, 2019 og Solem mfl., 2021).

Den matematiske samtalen som skapes i klasserom, har stor betydning for elevenes matematiske forståelse. Tydelige læringsmål er viktig for å skape en målrettet diskusjon, og lærerens oppgave blir å bygge videre på elevenes bidrag inn i timen (Wæge og Torkildsen, 2019; Liljedahl, 2023). Dersom elever får mulighet til å delta i matematiske samtaler og diskutere seg imellom, kan det være med på å skape en dypere relasjonell forståelse (Skemp, 1976). Eleven vil da kunne oppfatte matematikken som meningsfull og bli motivert til videre arbeid. Lærerens oppgave vil være å orientere den enkelte eleven opp mot medelevers tankeprosesser og bruke deres bidrag til å sette søkelyset på sentrale matematiske problemer. Ved å skape en læringsarena hvor matematiske samtaler står sentralt, vil elevene lære å formulere og begrunne egne strategier. Videre blir de i stand til å resonnere og se sammenhenger mellom ulike strategier ved å studere egne og andres utregninger og forklaringer (Wæge og Torkildsen, 2019; Liljedahl, 2023). Noen elever ville antagelig mestre det symbolske språket og komme fram til en generell formel for sammenhengen (Solem mfl., 2021).

Refleksjoner

Da elevene først var kommet i gang og hadde forstått hvilket mønster de skulle regne etter, var de ivrige etter å lete etter mønster. Enkelte grupper var litt for ivrige og forsøkte seg på en snarvei. De begynte å lete etter mønster før de hadde regnet alle kvadrater fra to til fem ferdig. Disse elevene oppdaget fort at de hadde litt for lite tallmateriale til å finne tydelige mønstre, og valgte selv å ta et steg tilbake eller fikk et hint om at det kunne være lurt (Liljedahl, 2023).

Gruppene lette etter mønster i ulike variasjoner og vanskelighetsgrad. Det tok ikke lang tid før flere av gruppene merket at svaret ble det samme i kvadrater av samme størrelse, uavhengig av hvor i hundrearket de befant seg.

Raskt kom også oppdagelsen av at alle svar sluttet på null. Deretter oppdaget de mer og mer, og for hver oppdagelse ble de enda litt mer ivrige etter å lete etter noe nytt. Oppdagelsene spredte seg rundt om i rommet, og de snappet opp hint fra hverandre (Liljedahl, 2023). Noen var veldig ivrige og kunne ha fortsatt lenger. Andre spurte om de kunne få lignende oppgaver neste uke. Vi ønsket å gå en runde med elevene å se på de ulike tavlene og konsolidere mot slutten av timen, men det rakk vi dessverre ikke. Forankringen ble derfor gjennomført timen etter. I tillegg gjennomførte vi en spørreundersøkelse der vi spurte elevene om deres opplevelser av oppgaven og denne måten å jobbe på.

Vi har fått en dypere forståelse av hvorfor det er viktig med tilfeldig valgte grupper. Det føles trygt å sette sammen grupper man vet kommer til å fungere. På den andre siden vet eleven på forhånd hvilken rolle i gruppa han skal ha, og trer inn i den rollen. Da vi så gruppeinndelingene, ble vi litt skeptiske til et par av gruppene. De så svake ut, og vi var redd et av gruppemedlemmene ville bli stående med jobben alene. Slik ble det heldigvis ikke. Vi har blitt overbevist om at tilfeldige grupper har en positiv effekt (Liljedahl, 2023). Men når det er sagt, så har tilfeldige grupper også en ulempe. Vi har noen elever som trenger trygghet for å tørre å ta del i arbeidet. Disse elevene ble usikre og trakk seg mer tilbake enn de ville ha gjort i trygge omgivelser. Tilfeldige grupper er derfor etter vår mening positivt i en trygg elevgruppe. Dersom man eksempelvis har elever i klassen med aktivitetsplaner som inneholder tiltak rundt gruppesammensetning, kan det være nødvendig med noen tilpasninger (Rowland mfl., 2005).

Vi var litt i tvil på om oppgaven var i vanskeligste laget, i og med at den lå til 8. trinn. Tidligere erfaring med denne elevgruppen har vært at elevene blir engasjerte av å bli utfordret. Dersom oppgavene blir for enkle, mister de fort interessen. De ønsker å utfordre seg selv. Alle gruppene fant en form for mønster, og alle var engasjerte på sitt nivå. Det ble som vi trodde, at alle grupper mestret å forklare sammenhengende med ord og spesifikke eksempler. Flere beveget seg over i generelle påstander og enkelt matematisk språk. Mens noen brukte matematiske symboler til å generalisere de ulike kvadratene. Det var avgjørende at vi gjennomførte undervisningsopplegget Introduksjon til algebra i forkant. Det var dette som gjorde at vi åpnet elevenes «algebraiske øyne og ører», og som førte til at de brukte et målrettet språk mot en algebraisk tenkning (Solem mfl., 2021; Wæge og Torkildsen, 2019).

Elevene stilte mange spørsmål underveis, men vi prøvde å fokusere på å stille motspørsmål, slik at elevene ble tvunget til å tenke selv. Utfordringen var å holde elevene i en flyt gjennom hele timen. Vi opplevde at vi ikke strakk helt til, og noen grupper falt litt ut i kortere perioder underveis, da vi ikke var raske nok til å komme med hint. Elevene var heller ikke godt nok trent til å stjele ideer fra andre tavler.

Forankringen ble gjennomført etter Liljedahls anbefaling ved å gradere strategiene etter vanskelighetsgrad og presentert fra bunnen. Det ble brukt mest tid på det alle gruppene forsto. De andre gruppene fikk uttrykke hva de så på de vertikale tavlene, og hvordan de trodde gruppen hadde tenkt, før selve gruppen fikk presentere sine tanker, ideer og fremgangsmåter. Dette fungerte meget bra.

Effekten ved bruken av vertikale tavler engasjerer alle elever. De synes det er gøy, de er mer fokuserte, og den matematiske samtalen er mye mer synlig når de står og jobber sammen om et felles prosjekt. Når vi ser hvilken positiv effekt undervisning med vertikale tavler har på elevene, ville det vært uhensiktsmessig å velge dette bort. Vi har over tid jobbet med Liljedahls (2023) sitt rammeverk og opplever at dette gjør det lettere å nå intensjonen i lærerplanen (Utdanningsdirektoratet, 2020a). Elevene samarbeider og viser høy elevaktivitet, de utforsker sammen og deler argumentasjoner og ulike representasjoner. Vi opplever at de i denne timen fikk en bedre forståelse og at vi stimulerte elevene til å tenke matematikk.

Noter

1 https://www.mattelist.no/517#ressurs

2 Løsning på oppgaven finner du her: https://www.mattelist.no/517#losning

Litteratur

Liljedahl, P. (2023). Å bygge tenkende klasserom i matematikk: 14 praksiser for bedre læring (1. utgave.). Cappelen Damm akademisk.

Matematikksenteret.no. (u.å.). Introduksjon til algebra. Hentet 2. mars 2023 fra https://www.matematikksenteret.no/l%C3%A6ringsressurser/grunnskole/introduksjon-til-algebra

Solem, I.H., Alseth, B., Eriksen, E. & Smestad, B. (2021) Tall og tanke 2 (1. utg. 6. opplag) Oslo: Gyldendal Norsk Forlag AS.

Rowland, T., Huckstep, P. & Thwaites, A. (2005). Elementary teachers’ mathematics subject knowledge: The knowledge quartet and the case of Naomi. Journal of Mathematics Teacher Education 8: 255−281.

Utdanningsdirektoratet. (2020a). Læreplan i matematikk 1–10 (etter 7. trinn) (MAT01-05). Hentet fra https://www.udir.no/lk20/mat01-05/kompetansemaal-og-vurdering/kv17?lang=nob

Utdanningsdirektoratet. (2020b). Læreplan i matematikk 1–10 (etter 8. trinn) (MAT01-05). Hentet fra https://www.udir.no/lk20/mat01-05/kompetansemaal-og-vurdering/kv16?lang=nob

Wæge, K. og Torkildsen, S.H. (2019). Å planlegge og lede en målrettet matematisk samtale. Realfagsløyper. Matematikksenteret. Hentet fra https://www.matematikksenteret.no/sites/default/files/attachments/MAM/Revisjon%2020-21/Modul%208/08%20W%C3%A6ge%20og%20Torkildsen%20A%CC%8A%20planlegge%20og%20lede%20en%20ma%CC%8Alrettet%20matematisk%20samtale.pdf

Wæge, K. (u.å) Hvordan legge til rette for gode matematiske samtaler i klasserommet? Mattelist. Matematikksenteret. Hentet fra: https://www.matematikksenteret.no/sites/default/files/attachments/MAM/Revisjon%2020-21/Modul%208/08%20W%C3%A6ge%20og%20Torkildsen%20A%CC%8A%20planlegge%20og%20lede%20en%20ma%CC%8Alrettet%20matematisk%20samtale.pdf

Om forfatterne

Hedda Miranda Grødem er adjunkt med tilleggsutdanning på Granly skole i Tønsberg. Hun er spesielt interessert i å utvikle utforskende og lekbaserte undervisningsopplegg som skaper læringsglede, og hvor elevmedvirkning står sterkt. Hedda har jobbet både i barne- og ungdomsskolen.

Merete Findal Vinje er lektor med tilleggsutdanning og ansatt ved Teie skole i Færder kommune. Hun interesserer seg spesielt for matematikk der elevengasjement, problemløsning og en dypere forståelse står sentralt. Merete har også lang erfaring som matematikklærer både fra barne- og ungdomstrinnet, samt at hun stadig videreutdanner seg innen faget.

Cecilie Swift er universitetslektor med tilleggsutdannelse og ansatt på USN. Hun interesserer seg spesielt for å utvikle partnerskapet mellom UH-sektoren og praksisfeltet, elevaktive metoder, elevers mestringstro og elevenes stemme. Hun har hatt ulike roller i utdanningsfeltet.