Matematikkens indre landskap
På workshop med Peter Liljedahl

Se for deg et brett med bondesjakk, altså et brett med 3 x 3 ruter. Hvor mange måter kan man vinne på? Spørsmålet ble stilt til lærerne som deltok på Peter Liljedahls workshop i Oslo 19 januar. Det var opprinnelig Matematikksenteret ved NTNU i Trondheim som hadde invitert ham til Norge for å holde en rekke med workshoper, men Utdanningsetaten i Oslo hadde fått lov til å låne ham for én dag, og slik fikk byens matematikklærere erfare hvordan en skoletime innenfor et tenkende klasserom kan arte seg.

Matematikklærerne kom lett fram til at det fins 8 ulike måter få tre kryss eller rundinger på rad. Det var lett! Men så var dette også bare den enkle inngangen til den virkelige oppgaven. Liljedahl ba lærerne se for seg en tredimensjonal bondesjakk, altså en terning med 3 x 3 ruter på hver side, der du ikke bare kan bevege deg på overflaten, men også tvers gjennom. Hvor mange måter kan du nå vinne på?

De 90 deltakerne ble så delt inn i tilfeldig i grupper på tre, som så måtte finne sin plass langs veggene der det var klebet opp vite duker som fungerte som tavler. Hver gruppe fikk tildel én tusj, som det ble presisert at skulle gå på omgang mellom deltakerne, og alle ideer som kom fram i gruppen måtte presenteres i skriftlig form på tavla (men gjerne strykes etterpå).

Hvordan skape et tenkende klasserom

Liljedahls fremgangsmåte er basert på årevis med observasjon av klasser på alle nivåer og i mange land. Temaene han tar opp, som tavlebruk, oppgave­giving, gruppesammensetninger, notatteknikk, bruk av lekser osv. er tradisjonelle nok, men innenfor hvert tema har han funnet fram til grep som bidrar til at elevene må bli aktive tenk­ere, eller kanskje man kan si at det er grep som gjør det vanskeligere å unngå å tenke.

For å ta selve rommet der demonstrasjonen fant sted, det fantes nesten ikke et møbel der. Det betydde at matematikklærerne hele tiden måtte stå. Liljedahls observasjoner av elever i klasserom viser at man tenker man bedre og deltar mer aktivt når man ikke får anledning til å sette seg.

Selv gikk han fra gruppe til gruppe, stilte gjerne noen spørsmål, men forlot ofte gruppen før de rakk å svare.

− En grunn til at jeg ikke blir for lenge hos gruppene, er at det da blir altfor lett å gi dem svar som de heller skal finne fram til selv. Når du vet svaret selv, kan det være vanskelig å la være å hjelpe, sier Liljedahl.

Hvordan tenker de andre?

Noen steder satte Liljedahl en rød ring rundt deler av gruppenes notater, med beskjed om at dette ikke kunne strykes. Det skulle vise seg at disse partiene skulle brukes til det neste trinnet i prosessen, å se hvilke mulige innfallsvinkler man kunne ha til problemløsningen. Notatene han hadde ringet inn kunne for eksempel være: «8, 8, 8, 9, 4, 6, 6», mens en annen gruppe opererte med helt andre tall. Hva står tallene for? Hvordan hadde gruppen tenkt? I denne prosessen, der man skulle formidle sin egen tenkemåte, måtte man også utvikle et språklig begrepsapparat for å kunne snakke om ulike veier gjennom den tredimensjonale figuren: «vertikal diagonal», «rett ned», «skråen», «superdiagonal» og «sentersenter». Etter hvert ble det introdusert mer fantasifulle begreper opprinnelig fra amerikanske elever: «branntrapp» (diagonal på utsiden), «rulletrapp» (diagonaler som krysser hverandre på innsiden) osv.

Å kunne visualisere

Det fantes selvfølgelig ikke noen stor tredimensjonal bondesjakk i rommet. Ikke desto mindre ble deltakerne bedt om å forholde seg til den gjennom å for eksempel å vise med hele kroppen hvordan man beveger seg bortover, nedover osv. gjennom figuren.

Ifølge Liljedahl er visualisering en helt essensiell del av problemløsning i matematikk, likevel er det ganske vanlig å sørge for at elevene nettopp ikke får muligheten til å visualisere. − Hvordan unngår man at elevene visualiserer, spurte han. Jo ved at læreren gir dem en fiks ferdig visualisering, for eksempel en figur eller tegning. For når den foreligger, så mister elevene muligheten til å skape sin egen modell for sitt indre blikk.

− Det hender riktignok at elevene må få litt hjelp på veien, og da må man kanskje vise dem en modell, men la dem ikke sitte med den, ta den bort igjen, sier Liljedahl.

Men svaret da?

Hvor mange måter kan man så vinne en tredimensjonal bondesjakk på? Hva er fasiten? Det fikk vi aldri vite, Liljedahl passe på å diskret stryke ut alle svarene ettersom han gikk rundt til de ulike gruppene. Fasiten forsvant i alt mylderet. Men den store tredimensjonale bondesjakken som ikke var der, men som alle så, den er det nok mange som fortsatt husker.

Legger vekt på den autonome læreren

Når man snakker om tenkende klasse-rom er grupper som står rundt hvite tavler ofte det som kommer fram. Vi spurte Peter Liljedahl om han ikke var redd for at hans ideer skulle bli redusert til dette, bruk av whiteboard.

− Ja, det kan være en felle. Whiteboardet er synlig, det er lett å vise, og da er det alltid en fare for at man blir sittende igjen med en reduksjonistisk oppfatning. Men dette er en risiko vi må ta. Om vi hadde hatt flere dager til rådighet, så ville du ha sett at vi raskt ville ta for oss helt andre elementer som er vel så viktige for å få elevene til å tenke: notatteknikk, leksebruk, måte å sette sammen grupper på osv., sier Liljedahl.

Ulikhet er en styrke

Det er lett å bli entusiastisk når man ser Liljedahls ideer i bruk, og vi spør hva han ville tenke om kommuner som ville instruere alle skoler om å ta metoden i bruk.

− Det ville ha vært «dødskysset» for metoden, det er helt vesentlig at lærerne selv må få velge hvordan de ønsker å arbeide, sier Liljedahl. Han mener dessuten at det ikke er et problem om noen lærere velger å bruke metoden og andre ikke, tvert imot.

− Ulikhet fungerer bedre enn homogene klasserom, og det gjelder også variasjon blant lærerne, sier han.

Matematikksenterets erfaringer med tenkende klasserom

Matematikksenteret i Trondheim er Peter Liljedahls offisielle samarbeidspartner i Norge. De hevder at metodene som inngår i tenkende klasserom, er velkjente og bygger på kjente teorier innenfor feltet.

Leder for Matematikksenteret, Kjersti Wæge, forteller at man har arbeidet med tenkende klasserom i rundt fem år, men at det er først i de siste to årene at samarbeidet er blitt offisielt. Samarbeidet har blant annet bestått i å arrangere Workshoper og bidrag til oversettelsen av Liljedahls bok.

Wæge sier at Matematikksenteret selv har prøvd ut Liljedahls metode, og legger vekt på at måten man bruker den på, er avgjørende for at den skal fungere godt.

Hun er opptatt av at læreren ikke bør begrense seg til den mest synlige delen av metoden, det Liljedahl kaller «startpakken»: inndeling i tilfeldige grupper, bruk av stående tavler og muntlig presentasjon av oppgavene.

− Vi legger større vekt på de øvrige praksisene han beskriver, det er disse vi har mest forskning på og som vi mener er helt avgjørende for å lykkes, sier hun.--

Forsker på lærernes erfaringer

I de norske studiene av Liljedahls metode har man ikke undersøkt elevenes læring, men sett på lærerens rolle.

− Gjennom samarbeid med mange lærerne over flere år er tilbakemeldingene at lærerne er tilfredse og at de ser positive effekter på elevenes prøveresultater. Men studiene har til nå vært relativt små, og vi planlegger større prosjekter, sier Wæge.

Bygger på læringsteori som allerede er kjent

Det har vært stilt spørsmål ved Liljedahls forskning, blant annet fordi mye av den forskningen han refererer til ennå ikke er publisert, men Wæge er ikke i tvil om at Matematikksenteret har et solid nok grunnlag for å anbefale metodene.

− Begrunnelsene som ligger bak tenkende klasserom, bygger på teorier som allerede er kjent innenfor feltet og som det er forsket på. Vi ville ikke brukt disse metodene dersom vi ikke allerede visste at det fins et godt forsk-ningsmessig belegg for å bruke dem, sier Wæge.

Tester ut tenkende klasserom

Ved Ullern videregående skole i Oslo har man testet ut prinsippene for tenkende klasserom i halvannet år. Lærerne Malin Lando og Ole Kristian Nordsveen forteller at de fleste av matematikklærerne ved skolen har tatt metoden i bruk og opplever at de har gode erfaringer.

− Elevene syns det er morsommere å gjøre oppdagelser selv enn å få dem fortalt av læreren, og bare det å få elevene flyttet vekk fra sekken og mobilen er en fordel. Elevene blir ikke så lett avledet fra det de skal gjøre, sier Nordsveen.

Bedre forberedt til eksamen

Malin Lando har erfart at elevene ser ut til å stille bedre forberedt til eksamen når de får trening i å lete etter flere måter å løse den samme oppgaven på.

− De blir mer villige til å ta fatt på oppgaver som de ikke har sett før, de velger å prøve i stedet for å gi opp med en gang, sier hun.

 Elise Larsen, Just Bunæs-Næss og Håvard Bale i ferd me1d å utforske hvordan ulike endringer i en funksjon påvirker den tilhørende grafen. De trives godt med å samarbeide på denne måten.

− Men jeg syns også det er fint å ha litt tradisjonell tavleundervisning av og til, en kombinasjon er det beste, sier Just.